高数同济第七版上册第一章

第一章：函数与极限

一：函数的概念

1.两个无穷小的比较

设 lim f(x）=0，lim g(x)=0。 且lim （fx/gx）=n

（1）n= 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[g（x）]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）n≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）n = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)

2.常见的等价无穷小！（把狗头换成未知数X）

图片发自App

这些，常见的无穷小，都是当x趋于零的时候，才可使用！！

二．求极限的方法

1．两个准则

准则 1. 单调有界数列极限一定存在

准则 2.（夹逼定理）设g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)

若lim g(x)=A，lim h(x)=A ; 则 lim f(x)=A

2．两个重要公式（也就是两个重要极限）

他们的原始形式以及推广变形后也应掌握

图片发自App

图片发自App

3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

也就是上面提到的那张狗图

4．用泰勒公式

当X趋于0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

图片发自App

5、洛必达法则（超级好用的定理！）

图片发自App

图片发自App

图片发自App

三：间断点的判断

（1）第一类间断点

设是函数y = f (x)的间断点。如果f (x)在间断点x0处的左、右极限都存在，则称x0是f (x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（2）第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

上边关于间断点都是理论知识，大家要静下心认真看一看，下面给大家两张图，或许有助于大家学习

图片发自App

图片发自App

四、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a,b]上连续的函数f (x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。

定理1．（有界定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则f (x)必在[a,b]上有界。

定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。

定理3．（介值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m和M 之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个ξ ，使得f (ξ ) = c

推论：如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点ξ ，使得f (ξ ) = 0这个推论也称为零点定理

好啦第一章的考点就这些啦！祝大家学习愉快，期末不挂科！！