欧几里得算法（gcd） 裴蜀定理 拓展欧几里得算法（exgcd）

欧几里得算法

又称辗转相除法

迭代求两数 gcd 的做法

由 (a,b) = (a,ka+b) 的性质：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

1 int gcd(int a,int b){
2     if(b==0) return a;
3     return gcd(b,a%b);
4 }

 O(logn)

 

 

裴蜀定理：

设 (a,b) = d，则对任意整数 x,y，有 d|(ax+by) 成立；

特别地，一定存在 x,y 满足 ax+by = d

等价的表述：不定方程 ax+by = c(a,b,c 为整数) 有解的充要条件为 (a,b)|c

推论：a,b 互质等价于 ax+by = 1 有解

 

扩展欧几里德算法

考虑如何求得 ax+by = d 的一个解。

这里 d = (a,b)

考虑使用欧几里德算法的思想，

令 a = bq+r，其中 r = a%b；

设求出 bx+ry = d 的一个解为 x = x0,y = y0，

我们可以知道gcd(a,b)最后一定会变成gcd(d,0)

所以ax + by = d     =>    dx0 + 0y0 = d

所以x0 = 1,y0 = 任何数；

考虑如何把它变形成 ax + by = d 的解。

将 a = bq+r 代入 ax + by = d，

化简得 b(xq+y) +rx = d

我们令 xq+y = x0,x = y0，

则上式成立 故 x = y0,y = x0 −y0q 为 ax+by = d 的解

边界情况：b = 0 时，令 x = 1,y = 0 //不知道为啥y=0；qwq

1 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
2     if(b==0){
3         x=1,y=0;
4         return;
5     }
6     int q=a/b,r=a%b;
7     exgcd(b,r,y,x);
8     y-=q*x;
9 }

先用 exgcd 求出任意一个解 x = x0,y = y0

再求出 ax+by = 0 的最小的解 x = dx = b/(a,b),y = dy = −a/(a,b)

所有解就是 x = x0 +kdx,y = y0 +kdy,

k 取任意整数