我为什么不用ANOVA？

因为它很局限。

ANOVA（Analysis of variance）是Fisher在1918年发明的一种方差分析方法^[1]。因为我们多数人在数理统计入门时重点学习过，所以最常使用。ANOVA有三大要求，使用前要逐一检验：

1. 数据平衡（没有缺失值）；
2. 响应变量服从正态分布；
3. 方差齐次（处理内不同水平的方差要相等）。

一旦不满足条件需要：

1. 填补缺失值；
2. 转换以服从正态；
3. 方差不齐怎么弄（就这么着吧）。

第一条没有问题。第二条，响应变量不服从正态分布才是合理的，图1，举例，前3列是一个处理的3个水平，单独时都服从正态，但混合分布（4列）就不是正态，而混合变量就是我们通常进行检验的响应变量。要清楚，无论什么转换，转换后怎么服从正态，根上就不对。第3条，方差不齐很常见，但似乎没有合适的方法来解决。

图1. 混合分布的正态性

如果以上3个条件都满足，那么用ANOVA是没有问题的，得到的结果和线性模型的是一致的。这里我总结了ANOVA和线性模型的关系（图2）。ANOVA在最小枝，可见有多么局限。

图2. GLMM广义线性混合模型。变量类型粗略分为连续和不连续2种

下面说一下线性模型的相对优势，它是怎么解决ANOVA的3大局限的。线性模型一般写成这样：

是响应变量，是固定效应，和是随机的随机效应和残差；X和Z是固定和随机效应的关联矩阵。

线性模型的条件是和服从均值为0的正态分布。看见没，没有对有任何限制。针对ANOVA的第2条。
方差不齐怎么办？把效应结构化。什么意思呢？比如ANOVA要求水平1和水平2的方差相等：，如果不等的话就用一个对角矩阵

分别估计出每个水平的方差，这就是对效应的结构化。这样就解决了ANOVA的第3条限制。

哪些软件能拟合线性模型？图2里有。
如发现问题欢迎指正！

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参考：许世忠教授的讲义。

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1. https://en.wikipedia.org/wiki/Analysis_of_variance ↩