一、为什么路径很重要？—以平滑和跳跃为例
在梳理能够找到的关于动量选股的所有研究成果后，我们发现改进一般动量策略的核心方法是关注动量股的时间序列特征，也就是观察一只动量股之所以被归类于动量股的路径。
在20世纪90年代后期形成、最终于2000年破裂的互联网泡沫内，有许多公司出现了极高的一般动量信号，投资者无法抗拒以极高的估值买入互联网股（可以联想前面提到的当时关于价值投资者和成长投资者的不同境地）。以联合制药公司和国际整流器公司为例，在2000年3月31日的泡沫劈裂前夕，两家公司都被归类于高动量股（中期动量达到554%和498%，动量投资者的high点，价值投资者的噩梦），然而国际整流器公司是一条相对平滑的路径，联合制药公司是一条更加跳跃性的路径，表示这种特征可以通过计算正收益和负收益的天数比例来表示。而在未来3个月，国际整流器公司获得46.9%的收益，而联合制药损失了24.7%。
这说明了，动量的路径依赖很重要，动量的这一时间序列特征反映了有关市场参与者的重要信息，我们可以系统性地利用这一信息来改善一般动量策略。为此我们研究了彩票型股票，这类股票的收益特征与跳跃的高动量股类似，而且满足了许多市场参与者对“彩票式回报”的特殊需求。
二、彩票型股票的表现与β值
前面提到的Barberis在《A Model of Casino Gambling》中阐述了人们去赌场的原因以及它们达到赌场后的行为表现，其中除了在赌博行为很有趣，还有一个因素在起作用，就是人们无法正确衡量低概率事件的成功概率，即人们极有可能高估赢得彩票的概率；而Turan G Bali、Nusret、Cakici等人在《Lotteries and the Cross-Section of Expected Returns》中研究了彩票型股票的表现，定义彩票型股票为近期出现极端收益的股票，按照上个月的最高日收益率对股票进行排名，他们的中心假设也是投资者会非理性地在彩票类赌博中付出过多，非理性地认为自己中奖的概率高于实际水平，他们发现股票型彩票的风险后调整收益表现不佳。
具体做法是，有两种股票，前10%是彩票型，后10%是非彩票型（无聊型），多头无聊型空头彩票型比空头彩票型多头无聊型的收益好，这表明了市场上人们的偏差；而此外，多头无聊型空头彩票型策略的四因子α值（控制市场、规模、价值和动量后）为1.18%，也要优于空头彩票型多头无聊型策略。
此外，彩票偏好有助于解释所谓的β异象。平均来看，高β股的表现低于低β股，这违背了CAPM模型的假设，被称为β异象，因为根据金融理论，高β股具有更高的风险，因此应该获得更高的期望收益率。而他们发现，低β无聊股的收益低于高β无聊股的收益，这与金融理论相符，但是整体市场中低β股的异常结果是具有彩票特征的股票推动的，而且彩票特征在高β股中的作用尤其大，在高β股中，越具有彩票性特征，收益率越低。研究人员认为，与高β相关的彩票特征是高β股票没能如同理论一样表现的原因，因为遵循平滑价格路径的高动量股往往具有较低的β值，遵循跳跃价格路径的高动量股往往具有较高的β值。
我们似乎要避免彩票型股票投资，因为遵循跳跃价格路径的高动量股比遵循平滑价格路径的高动量股更容易是因为股票偏好导致的过高定价带来的，从而在未来带来不好的收益。换言之，彩票型股票的表现往往较差，因为投资者根据过去的价值为他们叫价。
我们可以通过多种代理指标来衡量彩票偏好，比如前面的正收益率日子占比、β值等等，但是，当我们考虑全局，我们要做的是确认股票价格路径的性质，这样能收集有关市场参与者的信息。
三、动量利润的路径——温水煮青蛙
温水煮青蛙可以很好的描述这种过程，如果一只股票很快获得100%的收益，强势的价格立刻会吸引投资者的关注，而且往往会价格过高；而慢慢获得100%收益的股票收到的关注会更小，市场参与者更容易对其反应不足。也就是说，青蛙和投资者都收到了”有限注意力(limited attention)“的影响，反映出我们的认知资源是有限的，我们的大脑会专注地处理既定时间点最紧要的信息，但是对于确定什么是最紧要的信息则颇具挑战，心理学研究发现，与环境的微小变化相比，环境的巨大变化能吸引更多的认知资源。
2014年，Zhi Da、Umit Gurun、Mitch Warachka研究了投资者对于信息逐渐扩散的有限注意力问题，提出了温水煮青蛙假说，即一些列频繁的渐进性变化比突然的巨大变化得到的关注少，因而投资者会对持续的信息反映不足，对连续的信息反应过度。为了衡量这种小信号的相对频率，他们构建了一个信息间断度(ID)指标，ID=(过去的收益)*(负收益百分比—正收益百分比)，正收益占比越高意味着存在越多的数值较小的正收益率值，ID越高意味着信息更具离散性（跳跃），ID越低意味着信息更具连续性。他们依据ID对高动量股票（12个月回溯期）进行排序分组，间断组到连续组的6个月收益和三因子α单调递增，且多头连续、空头间断组合的收益达到了8.01%。
几位作者同时也在论文中检验了我们前面提到的较高频率的组合更新会转化为更好表现的策略效果问题，结果发现持续的动量似乎解释了大部分的动量效应，意味着：①更高的利润，连续的动量多空组合收益的三因子α值更高；②更强的持久性，间断的动量多空组合利润持续时间更短。
也就是说，我们通过这种方法能利用人们的有限注意力带来的系统性预期偏差，这种预期偏差与人们对于彩票型股票的偏好有关。
四、其他关于这方面的研究
Zhi Da、Umit Gurun、Mitch Warachka并不是唯一研究此问题的作者，在2000年，Hong、Lim、Stein等人就在论文中指出，分析师关注度低的股票和小盘股的动量利润更高，他们认为分析师关注度和小盘股特征可以作为股票吸引力能力的代理指标。而在1985年，Shefrin和Statman研究了处置效应或者说持有亏损股太长时间、太快地出售盈利股都对反应不足产生了影响。
而在作者自己的研究中发现，其他关注度指标，例如使用交易量等对高动量组合进行分类测试产生的结果也是相似的，在实际投资中，我们要避免与彩票型股票相关的错误定价，并利用可能导致系统性反应不足的有限注意力，下面将会继续探讨这方面的问题。