[SPOJ3105][洛谷P4195]Mod(exBSGS模板)

题面

https://www.luogu.com.cn/problem/P4195

题解

需要用到exBSGS（扩展BSGS）算法。

BSGS算法见 https://www.cnblogs.com/xh092113/p/12255049.html

exBSGS可以快速解决一般的\(a^x{\equiv}r{\mod p}\)的指数同余方程。

如果方程中的\(gcd(a,p)=1\)，那么可以用BSGS解决；

否则设\(g=gcd(a,p)\)，可以如下处理：

\[a^x{\equiv}r{\mod p}\]

\[{a\over g}*a^{x-1}{\equiv}{r \over g}{\mod {\frac}{p}{g}}\]

\[a^{x-1}{\equiv}{\frac{r}{g}}*{(\frac{a}{g})^{-1}}{\mod {\frac{p}{g}}}\]

• 这里\(({\frac{a}{g}})^{-1}\)指的是\({\frac{a}{g}}\)关于\({\frac{p}{g}}\)的逆元

接下来就可以递归地做了。因为\(p\)变成了\({\frac{p}{g}}\)，\(p\)在不断变小，所以最后总会使得\(gcd(a,p)=1\)，从而使用BSGS解决。

时间复杂度方面，递归的层数最多是\(O(\log{p})\)，每层求gcd和逆元是\(O(\log{p})\)，最后一层BSGS是\(O(\sqrt{p})\)，故总时间复杂度是\(O(\log^2{p}+\sqrt{p})\)。

代码

#include

using namespace std;

#define ll long long
#define rg register
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f

namespace ModCalc{
    inline void Inc(ll &x,ll y,ll mod){
        x += y;if(x >= mod)x -= mod;
    }
    
    inline void Dec(ll &x,ll y,ll mod){
        x -= y;if(x < 0)x += mod;
    }
    
    inline void Adjust(ll &x,ll mod){
        x = (x % mod + mod) % mod;
    } 
    
    inline ll Add(ll x,ll y,ll mod){
        Inc(x,y,mod);return x;
    }
    
    inline ll Sub(ll x,ll y,ll mod){
        Dec(x,y,mod);return x;
    }
    
    inline ll check(ll x,ll mod){
        Adjust(x,mod);return x;
    }
}
using namespace ModCalc;

inline ll read(){
    ll s = 0,ww = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')ww = -1;ch = getchar();}
    while('0' <= ch && ch <= '9'){s = 10 * s + ch - '0';ch = getchar();}
    return s * ww;
}

inline void write(ll x){
    if(x < 0)putchar('-'),x = -x;
    if(x > 9)write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}

inline ll power(ll a,ll n,ll mod){
    ll s = 1,x = a;
    while(n){
        if(n & 1)s = s * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return s;
}

inline ll gcd(ll a,ll b){
    return b ? gcd(b,a % b) : a;
}

inline void exgcd(ll a,ll &x,ll b,ll &y){
    if(!b){
        x = 1,y = 0;
        return;
    }
    exgcd(b,y,a%b,x);
    y -= a / b * x;
}

unordered_mapH;

inline ll BSGS(ll a,ll r,ll mod){
    a %= mod,r %= mod;
    ll T = (ll)round(sqrt(mod));
    ll a_T = power(a,T,mod);
    H.clear();
    for(rg ll i = 1,cur = r * a % mod;i <= T;i++,cur = cur * a % mod)
        H[cur] = i;
    for(rg ll i = 1,cur = a_T;i * T - T < mod;i++,cur = cur * a_T % mod)
    if(H.count(cur))return i * T - H[cur];
    return -inf;
}

inline ll exBSGS(ll a,ll r,ll mod){
    a %= mod,r %= mod;
    ll g = gcd(mod,a);
    if(r % g != 0){
        if(r == 1)return 0;
        else return -inf;
    }
    if(g == 1)return BSGS(a,r,mod);
    else{
        ll iv,y;
        exgcd(a/g,iv,mod/g,y);
        return exBSGS(a,r/g*check(iv,mod/g),mod/g) + 1;
    }
}

int main(){
    ll a = read(),mod = read(),r = read();
    while(a || r || mod){
        ll x = exBSGS(a,r,mod);
        if(x < 0)puts("No Solution");
        else write(x),putchar('\n');
        a = read(),mod = read(),r = read();
    }
    return 0;
}

• 第\(88\)行的\(mod\)操作要注意，如果此题中\(a\)可以为\(0\)，那么需要加一手\(a=0\)的特判。原因是：如果方程形如\(a^x{\equiv}1{\mod p}\)，而又有\(p|a\)成立时，此时若\(a=0\)则无解，若\(a\not=0\)则答案取\(x=0\)，需要进行分类讨论；如果先进行\(a\%=mod\)，那么这两种情况就会被混淆。