图论中简单点集、边集关系

对于无向图 \(G=(V,E)\)，定义：

• 匹配集（独立边集）：两两互不相邻的边构成的集合。
  • 最大匹配（P）
• 独立集（独立点集，稳定集）：两两互不相邻的顶点构成的集合。
  • 最大独立集
• 点覆盖（覆盖）：每条边至少有一个端点出现的点集。
  • 最小点覆盖（NP 完全）
• 边覆盖：每个点都被覆盖的边集
  • 最小边覆盖
• 路径覆盖：路径集，每个点均属于唯一的一条路径。
  • 最小路径覆盖（P）
• 支配集：使任意节点要么属于，要么与属于节点相邻的点集。
  • 最小支配集

以上均不考虑非连通图。

定义末的括号表示此问题的计算复杂度分类。

存在性质：

• |最小边覆盖| + |最大匹配集| = |V|。
• 对于任意，极大独立集 = 极小支配集。
• 对于任意，独立集 + 点覆盖集 = V。

二分图

等价条件：

• 当且仅当其不包含奇环作为子图。
• 当且仅当其着色数为 2。

二分图中，存在：

• （充要）|最小点覆盖| = |最大匹配集|。
  （充要）|最大独立集| + |最大匹配集| = |V|。
• 二分图中，最大团 = 补图的最大独立集。