可汗精读《人工智能导论》02概念表示

02 概念表示

概念表示

经典概念理论

概念的精确定义

• 可以给出一个命题
• 概念的经典定义方法
• 对象属于或不属于一个概念是一个二值问题

概念的组成部分

• 概念名

  • 用一个词语来表示
  • 属于符号世界或认知世界

• 概念的内涵表示

  • 反应和解释概念的本质属性
  • 人类主观世界对概念的认知
  • 属于心智世界

• 概念的外延表示

  • 由概念指称的具体实力组成
  • 由满足概念的内涵表示的对象构成的经典集合
  • 外延表示部分可观可测

经典概念的性质

• 可以使用内涵表示进行计算(数理逻辑)
• 可以使用外延表示进行计算(集合论)

数理逻辑

命题

• 非真即假的陈述句

• 不能说明真，也不能说明是假的叫悖论

• 真假判断结果叫真值

  • 真值唯一

• 简单命题用p、q、r、s、t等小写字母表示

• 符合命题用简单命题和逻辑词进行符号化

逻辑关联词

• 否定联结词

  • 一元联结词

  • 符号为“¬”

  • ¬p

    • 非p

  • 对应自然语言中“非”，“不”

• 合取联结词

  • 二元联结词

  • 符号为“∧”

  • p∧q

    • p并且q
    • p与q的合取式

  • 对应自然语言中“既···又···”“不但···而且···”“虽然···但是···”

• 析取联结词

  • 二元联结词

  • 符号为“∨”

  • p∨q

    • p或者q
    • p与q的析取式

  • 与自然语言中“或者”不完全相同

    • 自然语言

      • 相容或
      • 排斥或

    • 数理逻辑

      • 相容或

• 蕴涵联结词

  • 二元联结词

  • 符号为“→”

  • p→q

    • 如果p则q
    • p与q的蕴涵式
    • q是p的必要条件

  • p→q为假

    • p为真
    • q为假

  • 对应自然语言中“只要p就q”因为p所以q”“只有q才p”“除非q否则非p”

  • p为假时，无论q为真或为假，p→q总为真

  • p与q可以完全没有内在联系

• 等价联结词

  • 二元联结词

  • 符号为“↔”

  • p↔q

    • p当且仅当q
    • p与q的等价式
    • p与q互为充要条件

简单命题并不是最终的基本单位

• 陈述句

  • 主语谓语结构
  • 主语谓语宾语结构

• 谓词逻辑

  • 个体词

    • 研究对象中可以独立存在的具体或泛指的客体

    • 个体常项

      • 标识具体或者特指的客体的个体词

    • 个体变项

      • 泛指的客体的个体词

    • 由小写字母表示

  • 谓词

    • 用来刻画个体词性质或者个体词相互关系的

    • 谓词常项

      • 具体性质或关系的谓词

    • 谓词变项

      • 泛指或者抽象的性质或者关系的谓词

    • 常项和变项由上下文决定

    • 由大写字母表示

    • n元谓词

      • 以个体域为定义域，以{0,1}为值域的n元函数或者关系

      • 含有n个(n≥1)个体变项x1,x2,···,xn的谓词F成为n元谓词

      • 没有个体变项的谓词成为0元谓词

        • 0元谓词就是命题
        • 任何命题都是0元谓词
        • 命题为特殊的谓词

  • 量词

    • 全称量词

      • 一切，所有，任意，每一个，凡，都
      • 符号为“∀”
      • ∀x表示个体域内的所有个体，而个体域事先确定
      • ∀xH(x)表示所有个体x都有性质H
      • 个体变项的特性谓词与其对应的谓词之间是蕴涵关系

    • 存在量词

      • 存在，有一个，有的，至少有一个
      • 符号为“∃”
      • ∃x表示个体域里的某个个体，个体域事先确定
      • ∃xH(x)表示个体域里某个个体x都有性质H
      • 个体变项的特性谓词与其对应的谓词之间是合取关系

当概念的内涵表示为命题时，概念之间的组合运算可以通过数理逻辑进行

集合论

集合

• 一个由概念指称的所有对象组成的整体成为该概念的集合

• 对象称之为集合的元素或者成员

• 概念名为集合的名称

• 该集合称为对应概念的外延表示

• 名字有两个

  • 自然语言里叫概念名

  • 大写字母用在数学里，降低书写复杂度

    • 实数集合R
    • 整数集合Z
    • 有理数集合Q
    • 自然数集合N

• 表示方法

  • 枚举表示法

    • 列出集合中的所有元素
    • 元素之间用逗号隔开
    • 用花括号括起来
    • 不允许一个元素多次出现
    • 集合中元素地位平等，元素无顺序

  • 谓词表示法

    • 用谓词来概括集合中的元素属性
    • 该谓词是与集合对应的概念的内涵表示
    • 即其命题表示的谓词符号化中的谓词

• 集合的元素都是集合

• 如果同一层次的不同概念之间有各种关系，则对于同一层次上的两个集合，彼此之间也存在各种不同关系

• 定义

  • 如果A,B是两个集合，且A中任意元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集

    • A被B包含
    • B包含A
    • A⊆B
    • A不被B包含则为A⊈B
    • A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)

  • 如果A,B是两个集合，且A⊆B与B⊆A同时成立，则称A与B相等

    • A包含B
    • B包含A
    • A=B
    • A≠B
    • A=B⇔A⊆B∧B⊆A

  • 如果A,B是两个集合，且A⊆B与A≠B同时成立，则称A是B的真子集

    • A⊂B
    • A⊄B
    • A⊂B⇔A⊆B∧A≠B

  • 不包含任何元素的集合叫做空集

    • ∅
    • ∅ = {x|x ≠ x}

  • 集合A的全体子集构成的集合叫做集合A的幂集

    • P(A)
    • A为n元集，则P(A)有2ⁿ个元素

  • 在一个具体问题中，如果涉及的集合都是某个集合的子集，则称该集合为全集，记作E

  • 设A,B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，对称差A⨁B，B对A的相对补集A-B，绝对补集~A

    • A∪B = { x|x∈A∨x∈B}

    • A∩B = { x|x∈A∧x∈B}

      • 如果两个交集为空集，则称两个集合不可交

    • A⨁B = { x|(x∈A∧x∉B)∧(x∈B∧x∉A)}

    • A-B = { x|x∈A∧x∉B}

    • 如果A⊆E，~A = E - A={x|x∈E∧x∉A}

• 定理

  • 空集是一切集合的子集
  • 空集是唯一的

• 特征函数

  • 可以使用集合的特征函数来表示特定论域中的元素与集合的关系
  • 当全集为E，待讨论的集合为A，I_A(x)=1,当且仅当x∈A，否则I_A(x)=0,则I_A(x)是集合A的特征函数

概念的现代表示理论

命题的真假和对象属不属于某个经典集合都是二值假设

秃子悖论

• 比秃子多一根头发的人也是秃子

原型理论

• 一个概念可有一个原型来表示
• 一个原型既可以是一个实际的或者虚拟的对象样例，也可以是一个假设性的图示性表征
• 假设概念为概念的最理想代表

扎德提出模糊集合概念

样例表示

• 概念不可能由一个对象样例或者原型来表示，但是可以由多个已知样例来表示

• 一个样例属于某个特定概念A而不是其他概念，仅仅因为该样例更像特定概念A的样例表示而不是其他概念的样例表示

• 概念的样例通常有三种形式

  • 由该概念的所有已知样例来表示
  • 由该概念的已知最佳、最典型或者最常见的样例来表示
  • 由该概念的经过选择的部分已知样例来表示

知识表示

• 人类文明都存在颜色但是具体颜色概念有差异
• 概念是特定只是框架（文明）的一个组成部分
• 认知科学总是假设概念在人的心智中是存在的

不同的概念具有不同的内涵表示

• 命题表示
• 原型表示
• 样例表示
• 知识表示
• 认知表示