LA3177 长城守卫

本篇博客侧重于贪心法正确性证明
原问题可以二分答案转变为一个判定问题，
该判定问题如下：
有n个集合A1,A2,...,An，它们的元素个数分别是r1,r2,...,rn，且相邻两集合不交（包括首尾即A1与An），现给定一常数k使得这n个集合一共至多有k个不同元素，显然k太小时这样的n个集合是不可能存在的，请你在O(n)时间内判定某个给定的k是否合法。

首先给出算法：

不妨设这n个集合的元素取自{1,2,3,...,k}
对于n为偶数的情况，
取A1={1,2,...,r1}，即前r1个数，取A2为{k,k-1,k-2,...,k-(r2-1)}，即后r2个数，A3为前r3个数...依次类推，如果过程中没有发生元素不够用的情况，则k合法。
对于n为奇数的情况，
取A1={1,2,...,r1}，即前r1个数，取A2为{r1+1,r1+2,...,r1+r2}，即r1之后紧邻的r2个数，然后A3尽量取靠后(大)的元素，A4尽量取靠前(小)的元素...依此类推，如果过程中没有发生元素不够用的情况，则k合法。

这样做为什么是对的呢？

下图是n为偶数时的情况，从上到下分别是A1、A2、A3、A4...，整个矩形表示1~k共k个元素，阴影部分表示这个集合选定了哪些元素，A1选前r1个，A2选后r2个，A3选前r3个...
不难发现，对于n为偶数的情况算法的正确性是显然的。

n为偶数的情况

n为奇数的情况比较棘手，我们先把构造过程用图形直观地呈现出来，如下图。
这时A1选前r1个，A2选不与A1冲突的尽量小的r2个元素，A3选不与A2冲突的尽量大的r3个元素...

n为奇数的情况

然后我们发现这个过程中有一些特点，比如每个集合的元素至多是连续的两段，比如有一个位置在每一个集合中都会出现（图中灰色竖线）。
上图把每个集合超出灰线的部分标记为红色，因为最终An要和A1判断是否冲突，所以我们的目标是让An的红色部分为0，等价于让An的红色部分最少。然后我们注意到这样一个递推性质：Ak的红色部分最少的充要条件是Ak-1的红色部分最少。
由此，我们说明了n为奇数时算法的正确性。