1. 傅里叶级数
1.1 特征函数
上篇我们已经知道，LIT系统可以由单位冲激响应\(h(t)\)完全表征，且\(x(t)\)在系统的输出函数是\(x(t)*h(t)\)。这个结论是分析LIT系统的基础理论，甚至我们可以认为，LIT系统至此已经被完全解析了。但不要忘记，解析信号系统的目的，最终是为了分析信号或系统的特性、设计特定系统以处理信号。所以下一步就是要建立分析信号或系统的方法，并搞清系统对信号产生的根本性影响。单位冲激响应\(h(t)\)可视为系统的“固有信号”，所以接下来“信号”就是我们要面对的关键对象。
信号千变万化，一套完备的“特征”，一般要求它们互相独立、又能完整地表征对象。对待实变量函数，一种典型的思路是建立完备的“特征函数系”，特征函数之间有一定独立性，而任何函数可以被“特征系数”唯一表征。另外LIT是一个线性系统，在线性问题中有一个普遍而有效的思路，它非常类似于线性变换的特征向量理论。就独立性而言，我们希望“特征函数”\(x(t)\)的系统输出有简单的格式\(K(x(t))\cdot x(t)\)。
为了找到特征函数，我们得回到系统的表征函数\(\int h(\tau)x(t-\tau)\text{d}\tau\)中去。由其形式特点并联想到指数函数的特性，不难发现指数函数\(e^{st}\)满足式（1），以后我们把这样的函数称为LIT系统的特征函数。其中\(H(s)\)仅由系统和\(s\)决定，它是\(e^{st}\)经过系统后的“特征系数”，也被称为系统的特征值。值得提醒的是，\(s\)是在复数域的。复指数函数的一般形式是\(z^t\)，但以\(e\)为低的复数表示更便于指数、导数等运算，故这里用\(e^s\)表示复数\(z\)。回顾复数的知识，\(s=\sigma+j\omega\)，其中\(e^\sigma\geqslant 0\)是\(z\)的模，\(\omega\)是\(z\)的辐角（顺时针为正向）。
\[e^{st}\to H(s)e^{st},\,(s\in\Bbb{C}),\;\;H(s)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-s\tau}\,\text{d}\tau\tag{1}\]
1.2 三角基波
特征函数有很多，下面就要挑选合适的做“特征函数系”。当\(\sigma\ne 0\)时，\(e^{st}\)的范数\(e^{\sigma t}\)是无界的，使用起来比较棘手。这里先设\(\sigma=0\)，纯虚数指数函数（式（2））将构成我们需要的特征函数系（也叫基波）。函数值\(e^{j\omega t}\)随\(t\)在单位圆上做圆周运动，\(\omega\)是运动的角速度（弧度），运动的周期即为\(2\pi/|\omega|\)。教材里一般把\(\omega\)称为基波频率，而真实的频率其实是\(|\omega|/2\pi\)，请注意区分。
\[e^{\text{j}\omega t}=\cos\omega t+j\sin\omega t,\,(\omega\in\Bbb{R});\;\;T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}\tag{2}\]
\(e^{j\omega t}\)的实部、虚部都是正弦函数（这里不区分正余弦），正弦函数级数的性质已经被深入研究，用它们做基波是很方便的分析工具。傅里叶分析的早期研究对象，就是各种三角级数的收敛性。然而\(e^{j\omega t}\)才是三角函数更本质的形式，而且使用起来更加方便，所以今后我们都用复指数函数作为基波。复数域比实数域完备，所以复数运算更加方便自由，在纯数学上，不会因为一个概念“不够直观”而忽视它的价值。另外，系统的特征值\(H(j\omega)\)又被称为频率响应，它由冲激响应\(h(t)\)所决定，后面将会看到它们的密切关系。
1.3 傅里叶级数
由于最早研究的函数分解就是三角函数级数，所以分解的对象也限定在了周期函数上。设函数\(x(t)\)的周期为\(T\)，角速度为\(\omega_0\)，傅里叶级数将它分解为基波频率为\(k\omega_0,(k\in\Bbb{Z})\)的纯虚指数函数的级数（式（3）左）。为了求得系数\(a_k\)，可以利用\(\{e^{j\omega t}\}\)对积分运算的“正交性”，验证可有式（3）右成立。式（3）就是傅里叶级数（FS）的完整表达式了，一般记作\(x(t)\overset{FS}\leftrightarrow a_k\)，其中\(a_k\)也称为FS的频谱系数。
\[x(t)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}a_ke^{jk\omega_0 t},\;a_k=\dfrac{1}{T}\int_Tx(\tau)e^{-jk\omega_0\tau}\,\text{d}\tau\tag{3}\]
当然式（3）不是对所有周期函数都成立，狄利克雷条件给出了存在傅里叶级数的充分条件：（1）\(x(t)\)绝对可积；（2）周期内只有有限个起伏；（3）周期内只有有限个不连续点。这个条件包含了非常大范围的函数，因此它有着很广泛的实用价值。值得提醒的是，在不连续点\(t_0\)处，傅里叶级数收敛于\([x(t_0^-)+x(t_0^+)]/2\)，但在个别点的误差并不影响FS成为有力的分析工具。从表达式还能知道，相近的两个函数的频谱系数也是相近的，所以频谱系数具有一定“稳定性”。分解级数和积分式不一定存在，但如果一个式子存在，另一个式子也必然是存在的，且都具有唯一性。用带入证明会遇到根本性的困难，我们只能到傅里叶分析里找答案。
第一次面对FS的结论时，我们不禁想问：这个分解为什么会成立？它有没有更直观的解释？我想这样阐述（瞎说）FS的本质：函数就是一个随时间不断变化的量，这个“变化”可以从宏观到微观去依次去量化。就拿三角级数（4）来说，常数项\(a_0\)度量了\(x(t)\)相对0值的平均变化，去除\(a_0\)后\(a_1\)继续度量每半边的平均变化（左右相等但符号相反，使用三角函数可统一系数），然后再继续度量半边的两个半边，以此类推。显然中心对称的函数都可以做基波，但唯有三角函数简单且有很好的分析性质。
\[x(t)=a_0+a_1\sin\omega_0 t+a_2\sin2\omega_0 t\tag{4}\]
2. 傅里叶变换
2.1 傅里叶变换
傅里叶级数有着明显的局限性，最显然的就是它只适用于周期函数，而且如果把频谱系数作为函数的唯一表征，还必须限定在某个周期下。另一个缺陷不太明显但很重要，就是FS的频谱是不连续的，这限制了处理信号的范围。为了得到一般函数\(x(t)\)的频谱，先以\(t=0\)为中心截取长度为\(T\)的片段，然后展开成周期函数\(\tilde{x}(t)\)。对它做FS可以得到式（5），其中\(\{Ta_k\}\)是函数\(X(j\omega)\)上的等间隔点。
\[Ta_k=X(jk\omega_0),\;\;X(j\omega)=\int_Tx(t)e^{-j\omega t}\,\text{d}t\tag{5}\]
随着\(T\)逐渐增大直至无穷，\(\tilde{x}(t)\)变成\(x(t)\)，\(\{Ta_k\}\)也越发密集直至完全变成函数\(X(j\omega)\)（这当然不是严格的数学证明，但也不失为一个好的直观阐述）。从离散到连续的变化中，\(\omega_0\)变成微分\(\text{d}\omega\)，\(a_k\)则变成了\(\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)\,\text{d}\omega\)（因为\(T=2\pi/\omega\)）。最终（连加变成积分）\(\tilde{x}(t)\)的FS也变成了\(x(t)\)的傅里叶变换（FT，式（6）），一般记作\(x(t)\overset{F}\leftrightarrow X(j\omega)\)，其中\(X(j\omega)\)还是称为频谱系数。
\[x(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\,\text{d}\omega;\;\;X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,\text{d}t\tag{6}\]
傅里叶变换也有对应的狄利克雷条件，只需把FS中的“周期内”改成“有限区间内”即可（以下把左式叫分解式、右式叫变换式）。狄利克雷条件是FT积分（处处）收敛的的充分非必要条件，在该条件下的分解式、变换式都是非奇异的。但在奇异函数的概念下，这些积分可以在更大的范围内“存在”，比如\(\delta(t)\)的FT是\(1\)，但分解式显然不收敛。所以这里要强调，傅里叶变换的存在性是比收敛性更宽泛的概念，数学上已经证明：分解式、变换式是同时存在的，且互相具有唯一性。
公式（6）说明了，函数和频谱系数是互相确定的，\(\{e^{j\omega t}\}\)是一个完备的特征函数系。频谱系数可以完全表征一个函数，它一般被称为函数的频域特征，相对而言函数自身则是时域特征。时域、频域是分析信号或系统的两个角度，它们在不同的场景下有各自的长处。对于系统的冲激函数\(h(t)\)，从式(1)可知，频率响应函数\(H(j\omega)\)就是\(h(t)\)的傅里叶变换。也就是说，\(h(t),H(j\omega)\)分别是系统的时域、频域表征（后者也被称为系统函数），两者对系统分析都至关重要。
狄利克雷条件是FT收敛的充分而非必要条件，鉴于FS和FT的关系，下面来讨论怎样把FS纳入FT中去。其实FT的频谱系数\(X(j\omega)\)是不同基波的“密度”函数，\(e^{j\omega t}\)在分解中的“份量”是\(\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)\,\text{d}\omega\)。反观FS的频谱系数\(a_k\)，\(e^{jk\omega_0}\)提供的“份量”就是\(a_k\)，它在FT中的“密度”应当是\(2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)\)。综合便有了FS的FT格式（式（7）），它其实就是周期函数的傅里叶变换。
\[X(j\omega)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)\tag{7}\]
2.2 拉普拉斯变换
傅里叶变换的收敛性对函数有一定要求，比如函数一定要是有界的，这将限制对很多信号和系统的讨论。尤其在做系统的定性分析时，我们希望面对一个更大的系统空间进行系统设计。另一方面，LIT的特征函数\(e^{st}\)中的\(s\)可取遍整个复数域，而FT的基波\(e^{j\omega t}\)仅仅是\(s=\sigma+j\omega\)取虚轴而建立的函数系。为了研究用一般的\(e^{st}\)为基波的分解，可以考虑在FT两边同时乘上函数\(e^{\sigma t}\)（式（8）），其中\(\sigma\)是一个定值。
\[x(t)e^{\sigma t}=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{(\sigma+j\omega)t}\,\text{d}\omega\tag{8}\]
式（8）其实就是\(x(t)e^{\sigma t}\)在函数系\(\{e^{(\sigma+j\omega)t}\}\)下的分解，由于\(\sigma\)是一个定值，\(s\)取在某条跟虚轴平行的直线上。一般地，式（9）被称为拉普拉斯变换（LT），并计作\(x(t)\overset{L}{\leftrightarrow}X(s)\)，它和FT显然有关系式（10）。\(H(s)\)可以视为函数的\(s\)域特征，它是对频域的扩充，在系统分析中也将起到更大的作用。还是得强调一下，虽然\(X(s)\)的定义域可以是整个复数域，但在某个具体的拉普拉斯变换中，\(s\)仅在一条虚轴平行线上（\(\sigma\)是定值）。课本中将逆变换写成了复数在曲线上的微分，我觉得对本课程没有意义。
\[x(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(s)e^{st}\,\text{d}\omega;\;\;X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}\,\text{d}t\tag{9}\]
\[x(t)\overset{L}{\leftrightarrow}X(\sigma+j\omega)\;\;\Leftrightarrow\;\;x(t)e^{-\sigma t}\overset{F}{\leftrightarrow}X(j\omega)\tag{10}\]
对于一个函数\(x(t)\)和固定的\(\sigma\)，如果LT对所有的\(\omega\)都收敛，那么称\(x(t)\)的LT在\(\sigma\)处收敛。那些收敛的\(\sigma\)称为LT的收敛域（ROC），但要注意，收敛域外的某个具体\(s\)处，LT积分也可能收敛。课本上以\(s\)定义收敛域，其实并无本质区别，因为LT总是定义在整条虚轴平行线上的。如果\(x(t)\)有限持续（\(|t|>T\)后为0），积分总是收敛的，它的ROC是整个复平面。如果\(x(t)\)左边有限持续（右边信号），考察\(x(t)e^{-\sigma t}\)的绝对可积性，如果在\(\sigma_0\)处绝对可积，则易证在\(\sigma>\sigma_0\)上都可积，从而ROC为右半平面。同样道理，左边信号的ROC就是左半平面。而一般的双边信号，可将其分割为左右两部分，结合刚才的结论可知，ROC是一个带状区域。
以上左/右平面、带状区域的边界是否收敛视情况而定，而且边界本身可能是不存在的（无穷大小），以下不再说明。冲激响应\(h(t)\)的拉普拉斯变换\(H(s)\)是系统的\(s\)域特征，它还是被称为系统函数，其ROC与系统性质有着一些关联。比如因果系统的冲击响应是一个右边信号，从而系统函数的ROC必定是右半平面。还有一个稳定系统的冲激响应是绝对可积的，从而它的傅里叶变换收敛，也就是说系统函数的ROC必须包含虚轴。