博弈论沉思11贝叶斯纳什均衡

53不完全信息静态博弈——贝叶斯纳什均衡

在不完全信息静态博弈中，所有参与人同时行动，其战略空间等于行动空间，但是参与人i的行动空间可能依赖于其类型，也就是行动空间是类型依存的。类似的，其支付函数也是类型依存的。如企业能选择什么产量依赖于它的成本函数，一个人能干什么依赖于它的能力等。

贝叶斯纳什均衡是完全信息静态博弈纳什均衡概念在不完全信息静态博弈上的扩展，不完全信息静态博弈又叫做静态贝叶斯博弈。

静态贝叶斯博弈的时间顺序为：1、自然选择类型向量，参与人i能观测到自己的类型，但参与人j只知道除i之外所有参与人类型，但不知道参与人i的类型。2、n个参与人同时行动；3、参与人i得到类型依存支付函数。

给定参与人i只知道自己的类型而不知道其他参与人的类型，参与人i将选择使自己的效应最大化的期望效用。贝叶斯纳什均衡：n人不完全信息静态博弈的纯战略均衡是一个类型依存战略组合，其中每个参与人i在给定自己的类型θi和其他参与人类型依存战略的情况下，最大化自己的期望效用。

在市场进入的例子里，均衡战略是：高成本的在位者选择默许，低成本的在位者选择斗争。只有当高成本的概率p=1/5时，进入者才选择进入，否则不进入。

54如何甄别信息的真伪

所罗门王是犹太民族历史上最伟大的君王，也是世界上最传奇的君王之一。

有这样一个传说，所罗门在继位之初，就曾虔诚地向上帝祈祷，希望上帝能赐予他当一个好国王所必需的好品质。于是，耶和华便拿出了四样东西给他挑选。所罗门从“长寿”、“财富”、“复仇”、“智慧”中仅挑了“智慧”，于是，上帝便赐给了他一个谨慎而又聪明的心灵。从此，所罗门断案之神能，破案之智慧，裁判之公正，便在西方历史上留下了许多佳话。当然这是一个传说，可见所罗门这个人还是很聪明的。

有一天，所罗门端坐在大神殿里的审判席上，有两个妇女抱着一婴儿上殿来，哭哭啼啼地向他陈述一个案件。

其中妇女甲指着妇女乙说：“我们二人住在一起待产。我三天前先生下一个男婴，后来，她也生下了一个儿子。今天早上醒来时，我发现怀中孩子已经没有呼吸了，把我吓得惊魂未定。我再仔细一看，这个死婴并不是我亲生的儿子，而是她的，而更加让人气愤的是我的儿子居然在她的怀里抱着。

妇女甲陈述未完，妇女乙就激动地向所罗门抗辩道：“不，她说的是假话！死去的才是她的儿子，她自己不小心，晚上睡觉时把自己的孩子压死了，现在想把我的儿子抢走。”

而妇女甲更加激动，大声地说：“活着的是我的儿子！我的儿子……”

二女争子，吵得不可开交。这件奇案一时间也难住了所罗门。

在所罗门的那个时代，医学上还未发展到验血认亲、DNA亲子鉴定的地步。本案又丝毫没有其他的人证、物证可供参考。所罗门沉思良久，突然睁开眼睛，发出一个简短的命令：“拿剑来”。

甲乙二女大吃一惊，都问：“国王，您拿剑来干什么？”

所罗门向她们解释说：“既然你们俩都认准这个婴儿是你们的儿子，又找不到别的证据来证明，我想干脆就把婴儿切开两半，一人一半”。

听到这话，妇女甲当即要晕眩过去，随后失声痛哭：“国王呵，您还是把孩子给她吧，我宁可不要这个孩子了，请不要杀孩子！”

而妇女乙则恶狠狠地说：“好呵，我既不能得到，她也不能得到，干脆一刀两半，把孩子杀了吧。”

此时，真相大白。按人之常情，只有亲生母亲才会委屈自己，以保存孩子的性命，于是，所罗门作出了一个千古传诵的判决：“把孩子交给妇女甲，她才是真正的生母”。而狠毒的妇女乙，则受到了法律应有的惩罚。

这个英明的判决在世界各地流传了将近3000年，使所罗门成为了西方世界妇孺皆知的一个司法正义的守护神。当然，如果用现代法治的原理和观点来看，所罗门这一司法行为显然是大有问题的。他首先是触犯了法律，即违反了法律中“不可妄杀人”这一条；其次，他的恐吓之所以能产生这样大的戏剧性效果，则全因为妇女甲乙以及全体子民都知道，他手上确实有“切开婴儿”而无须经任何司法程序批准的权力。

这种“法治”，其实还是一种“权力至上”的“人治”，充其量，它只是一种“形式法治”。

但在那个遥远的古代，在那种完全没有事实证据的情况下，作为一个能积极创造条件、克服困难、去实现司法公正的审判官，所罗门的智慧，确实是值得千秋万世的景仰。

55将计就计

在《三国演义》第45-46回中，周瑜伪造假降书，诱骗曹操杀了蔡瑁、张允二将，曹操遂派蔡中、蔡和两兄弟假装降周瑜，去土获取东吴情报，周瑜识破曹操的诡计，将计就计，对黄盖施以苦肉计，如何将这一故事模型转化为一个不完全信息博弈？

或者，不完全信息博弈是否就是将计就计？

有一个卖草帽的人，有一天叫卖归来，在一棵大树旁打起了瞌睡，等他醒来的时候，发现身边的帽子都不见了，抬头一看，树上有很多猴子，模仿人的样子把帽子戴在头上，他想到猴子喜欢模仿人的动作，就拿下自己的帽子扔在地上，猴子也学他，纷纷将帽子扔在地上。

于是卖帽子的人捡起帽子回家去了，并将这个故事告诉了他的子孙。很多年后，他的孙子继承了卖帽子的家业，有一天，他也在大树旁睡着了，而帽子也同样被猴子拿走了，他想起爷爷的办法，拿下帽子扔在地上。

可是猴子非但没有照他的做，还把扔在地下的帽子也拣走了，临走时还说：我爷爷早告诉我了，你这个老骗子要玩什么把戏。