数值计算day3-求解线性方程组(上)

上节课主要介绍了非线性方程的几种数值解法，其中包括交叉法（二分法、线性插值法）和开放法（牛顿法、割线法、固定点法）。本节课主要介绍线性方程组的数值求解方法，主要分为直接法和迭代法两类。直接法包括高斯消去法(Gauss elimination)、高斯约当法(Gauss-Jordan)以及LU分解法，迭代法包括Jacobi法和高斯塞德尔法(Gauss-Seidel) 。

1. 高斯消去法（Gauss Elimination Method）

高斯消去法是通过将线性方程组转化为上三角的形式，然后一步一步回代(back substitution)求解的方法。
例：

系统法：
系统法的增广矩阵形式：将方程写为矩阵的形式系统法的求解过程可以写成如下增广矩阵的变换形式 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 5 \\3 & 4 & 6\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 2 & 5 \\0 & -2 & -9\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 2 & 5 \\0 & 1 & 4.5\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & -4 \\0 & 1 & 4.5\end{bmatrix}$

例：

matrix:

类似的，形式的方程组:
可以写作如下矩阵形式： $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, x=\begin{bmatrix}x_1 \cdots x_n\end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix}b_1 \cdots b_n\end{bmatrix}, Ax=b$

高斯消去法的核心：

方程组写为矩阵形式
矩阵行变换：将一行中所有元素乘上一个标量，减去（加上）另外一行，该操作不会改变方程的解
逐行变换，直至将矩阵转换为便于求解的形式

一般而言，如下三种矩阵形式方便求解：

对角形式：，
上三角形式：，使用回代法求解(back substitution): 重复下去
下三角形式：使用前向替换法(forward substitution): 重复下去

Matlab实现（求解, 使用左除）:

>> A = [1 2;3 4]

A =

     1     2
     3     4

>> b = [5 6]'

b =

     5
     6

>> x = A\b

x =

   -4.0000
    4.5000

>> format long
>> x = A\b

x =

  -3.999999999999999
   4.499999999999999

MATLAB实现（高斯消去法）：

function x=Gauss(a,b)
  ab=[a,b];
  [R,C]=size(ab);
  for j=1:R-1
      for i=j+1:R
          ab(i,j:C)=ab(i,j:C)-ab(i,j)/ab(j,j)*ab(j,j:C);
      end
  end
  x=zeros(R,1);
  x(R)=ab(R,C)/ab(R,R);
  for i=R-1:-1:1
      x(i)=(ab(i,C)-ab(i,i+1:R)*x(i+1:R))/ab(i,i);
  end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
>> A = [1 2;3 4]

A =

     1     2
     3     4

>> b = [5 6]'

b =

     5
     6

>> format long
>> Gauss(A,b)

ans =

  -4.000000000000000
   4.500000000000000

MATLAB实现（回代法与前向替换法）

function y = BackwardSub(a,b)
% The function solves a system of linear equations ax=b 
% where a is upper triangular by using backward substitution.
% Input variables:
% a  The matrix of coefficients.
% b  A column vector of constants.
% Output variable:
% y  A colum vector with the solution.

n = length(b);
y(n,1) = b(n)/a(n,n);
for i = n-1:-1:1
    y(i,1)=(b(i)-a(i,i+1:n)*y(i+1:n,1))./a(i,i);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function y = ForwardSub(a,b)
% The function solves a system of linear equations ax=b 
% where a is lower triangular by using forward substitution.
% Input variables:
% a  The matrix of coefficients.
% b  A column vector of constants.
% Output variable:
% y  A colum vector with the solution.

n = length(b);
y(1,1) = b(1)/a(1,1);
for i = 2:n
    y(i,1)=(b(i)-a(i,1:i-1)*y(1:i-1,1))./a(i,i);
end

2. 高斯主元消去(Gauss Pivoting)

可以发现，当主元为或非常小时，使用高斯消去法会失去精度，因此，在必要时可以交换行的顺序: 高斯主元法就是通过交换行的顺序，来保证主元不为0，并且尽可能取绝对值较大的值，下面通过一个案例，说明主元很小时，高斯消去法会造成计算精度上出现较大误差，而高斯主元法的计算结果会更为精确。
例: 使用高斯消去:

(round-off error, since )

MATLAB运算结果：

>> A = [0.0003 12.34;0.4321 1]

A =

   0.000300000000000  12.340000000000000
   0.432100000000000   1.000000000000000

>> b = [12.343 5.321]'

b =

  12.343000000000000
   5.321000000000000

>> A\b

ans =

  10.000000000000000
   1.000000000000000

若交换行序（高斯主元消去）：

(round-off error, since )

MATLAB实现（高斯主元消去）

function x=GaussPivot(a,b)
  ab=[a,b];
  [R,C]=size(ab);
  for j=1:R-1
      if ab(j,j)==0
          for k=j+1:R
              if ab(k,j)~=0
                  abTemp=ab(j,:);
                  ab(j,:)=ab(k,:);
                  ab(k,:)=abTemp;
                  break
              end
          end          
      end
      for i=j+1:R
          ab(i,j:C)=ab(i,j:C)-ab(i,j)/ab(j,j)*ab(j,j:C);
      end
  end
  x=zeros(R,1);
  x(R)=ab(R,C)/ab(R,R);
  for i=R-1:-1:1
      x(i)=(ab(i,C)-ab(i,i+1:R)*x(i+1:R))/ab(i,i);
  end
end

3. 高斯约当法（Gauss-Jordan Method，同时适用于求矩阵的逆）

高斯约当法一般采用高斯主元消去法，不同的是，高斯约当法每次会将主元规范化为，且最终将原矩阵转化为单位矩阵。
例： $\begin{bmatrix}4 & 1 & 2 & 21\\ 2 & -2 & 2 & 8\\ 1 & -2 & 4 & 16\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 16\\ 2 & -2 & 2 & 8 \\4 & 1 & 2 & 21 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 16\\ 0 & 2 & -6 & -24 \\0 & 9 & -14 & -43 \end{bmatrix}$ $\rightarrow \begin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 16\\ 0 & 1 & -3 & -12 \\0 & 9 & -14 & -43 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & -8\\ 0 & 1 & -3 & -12 \\0 & 0 & 13 & 65 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & -8\\ 0 & 1 & -3 & -12 \\0 & 0 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

可以看到，高斯约当法可以很方便地用来求解一个矩阵的逆：, $A\begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 &c_{11} & c_{12} & c_{13} & \\ 0 & 1 & 0 & c_{21} & c_{22} & c_{23} &\\ 0 & 0 & 1& c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix}$

4. LU分解法（LU-decomposition Method）

LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积：, 其中表示下三角矩阵, 表示上三角矩阵。LU分解之后，求解线性方程就等价于求解如下两个方程：

LU分解主要有两种方法来实现：

高斯消去(Gauss Elimination);
Crout's Method

4.1 Crout's Method

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L_{11} & & & & \\ L_{21} & L_{22} & & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ L_{n1} & L_{n2} & \cdots & L_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & U_{12} & U_{13} & \cdots & U_{1n} \\ & 1 & U_{23} & \cdots &U_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots \\ & & & & 1\end{bmatrix}$

例:
$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} L_{11} & 0 & 0\\ L_{21} & L_{22} & 0\\ L_{31} & L_{32} & L_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & U_{12} & U_{13}\\ 0 &1 & U_{23}\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} L_{11} & L_{11}U_{12} & L_{11}U_{13}\\ L_{21} & L_{21}U_{12}+L_{22} & L_{21}U_{13}+ L_{22}U_{23}\\ L_{31} & L_{31}U_{12}+L_{32} & L_{33}+ L_{31}U_{13}+ L_{32}U_{23} \end{bmatrix}$
采用待定系数法求解：
结合计算过程，可以推导出，对于矩阵，使用Crout's Method进行LU分解的通用形式为：

矩阵的第一列
矩阵的对角元素
矩阵的第行
矩阵的其他元素
矩阵的其他元素

MATLAB实现(LU分解，Crout's Method)

function [L, U] = LUdecompCrout(A)
% The function decomposes the matrix A into a lower triangular matrix L 
% and an upper triangular matrix U, using Crout's method such that A=LU.
% Input variables:
% A  The matrix of coefficients.
% Output variable:
% L  Lower triangular matrix.
% U  Upper triangular matrix.

[R, C] = size(A);
for i = 1:R
    L(i,1) = A(i,1);
    U(i,i) = 1;
end
for j = 2:R
    U(1,j)= A(1,j)/L(1,1);
end
for i = 2:R
    for j = 2:i
        L(i,j)=A(i,j)-L(i,1:j-1)*U(1:j-1,j);
    end
    for j = i+1:R
        U(i,j)=(A(i,j)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,j))/L(i,i);
    end
end

4.2 高斯消去

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & & & & \\ m_{21} & 1 & & & \\ m_{31} & m_{32} & 1 & &\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ m_{n1} & m_{n2} & \cdots & m_{n,n-1} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a'_{11} & a'_{12} & \cdots & a'_{1n} \\ & a'_{22} & \cdots & a'_{2n}\\ & & \ddots & \vdots\\ & & & a'_{nn}\end{bmatrix}$

general formulation:

例:

高斯消去法进行LU分解也可以通过待定系数法求解出矩阵参数：

矩阵第一行：
矩阵对角元素：
矩阵第一列：
矩阵其他元素：
矩阵其他元素：

MATLAB实现(LU分解，高斯法，待定系数)

function [L,U] = LUdecopGauss(A)
[R,C] = size(A);
for i = 1:C
    L(i,i) = 1;
    U(1,i) = A(1,i);
end
for i = 2:R
    L(i,1) = A(i,1)/U(1,1);
end

for j = 2:C
    for i = 2:j
        U(i,j) = A(i,j)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,j);
    end
    for i= (j+1):R
        L(i,j) = (A(i,j)-L(i,1:j-1)*U(1:j-1,j))/U(j,j);
    end
end
end

高斯消去的待定系数法与Crout's 方法的待定系数法相比，要难以理解，可读性差，主要在于通解形式与常规的求解顺序不一致。为便于理解，还有一种拉格朗日形式来实现高斯消去法：
回顾高斯消去的过程：

第一步运算 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\rightarrow A'=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a'_{22} & \cdots & a'_{2n}\\ \vdots\\ 0 & a'_{n2} & \cdots & a'_{nn} \end{bmatrix}=L_1A,L_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ -\frac{a_{21}}{a_{11}} & 1 & \cdots & 0\\ \vdots\\ -\frac{a_{n1}}{a_{11}} & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$ 这是一步行变换
第二步运算 $A'=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a'_{22} & \cdots & a'_{2n}\\ \vdots\\ 0 & a'_{n2} & \cdots & a'_{nn} \end{bmatrix}\rightarrow A''=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a'_{22} & \cdots & a'_{2n}\\ \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a''_{nn} \end{bmatrix}=L_2A‘,L_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots\\ 0 & -\frac{a'_{n2}}{a'_{22}} & \cdots & 1 \end{bmatrix}$
第步运算后此时即为LU分解中的U矩阵，而 $L=L^{-1}_{1}...L^{-1}_{n-2}L^{-1}_{n-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ \frac{a_{21}}{a_{11}} & 1 & \cdots & 0\\ \vdots\\ \frac{a_{n1}}{a_{11}} & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots\\ 0 & \frac{a'_{n2}}{a'_{22}} & \cdots & 1 \end{bmatrix}...=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ \frac{a_{21}}{a_{11}} & 1 & \cdots & 0\\ \vdots\\ \frac{a_{n1}}{a_{11}} & \frac{a'_{n2}}{a'_{22}} & \cdots & 1 \end{bmatrix}$ 可以看到

MATLAB实现(LU分解，高斯消去，拉格朗日形式)

function [L,U]=LUGauss2(A)
  [R,C]=size(A);
   L = zeros(size(A));
  for i = 1:C
    L(i,i) = 1;
  end
  for j=1:R-1
      for i=j+1:R
          L(i,j) = A(i,j)/A(j,j);
          A(i,j:C)=A(i,j:C)-A(i,j)/A(j,j)*A(j,j:C);
      end
  end
  U = A;
end

5. 总结

本节课主要介绍了求解线性方程组的几种直接法，包括高斯消去、高斯主元消去、高斯约当、LU分解法等，其中高斯约当法可以用来求矩阵的逆。矩阵的LU分解又可以通过高斯消去和Crout 方法来实现，对参数矩阵进行LU分解后，很容易可以求解方程。下节课介绍求解线性方程组的迭代法。