Kruskal 最小生成树算法

算法步骤：

1. 所有点保留，撤掉所有的边。
2. 将所有边按照边权排序。
3. 不断选择边权最小的边，联通各个点。
4. 当所有点联通，就完成了。

示例代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int MAX_N = 100000;  // 最大顶点数
const int MAX_M = 100000;  // 最大边数

struct Edge {
    int u, v, len;
}e[MAX_M];

int fa[MAX_N], n, m;  // fa 数组记录了并查集中结点的父亲

bool cmp(Edge a,Edge b) {
    return a.len < b.len;
}

// 并查集相关代码
void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
}
int get(int x) {
    if (fa[x] == x) {
        return x;
    }
    return fa[x] = get(fa[x]);
}
int kruskal(int n, int m) {
    sort(e + 1, e + m + 1, cmp);  // 对边按边权进行升序排序
    init(); // 初始化并查集
    int ans = 0;  // 保存最小生成树上的总边权和，也就是答案
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int fu = get(E[i].u);
        int fv = get(E[i].v);
        if (fu != fv) { // 合并
            fa[fv] = fu;
            ans += e[i].len;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;  // n 为点数，m 为边数
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> e[i].u >> e[i].v >> e[i].len;  // 用边集数组存放边，方便排序和调用
    }
    cout << kruskal(n, m) << endl;
    return 0;
}

$$总时间复杂度： \mathcal{O}(E \log E + V\alpha (V))$$