人工智能期末复习笔记2017-12-28

搜索问题

    graph TB
    subgraph 盲目搜索
    深度优先
    宽度优先
    end
    subgraph 启发式搜索
    A算法
    A*算法
    end

盲目搜索

深度优先算法

沿着一个路径按照一定规则顺序搜索,直到搜到目标,或者搜到非法值。搜到非法值时,则返回到上一个点。

非法值有两种形式,一种是问题本身定义的非法点(deadend),比如下棋的非法落子点;一种是当前点已经被充分展开,其展开点都被搜索过,最终都是非法点。

深度优先算法有两个问题,对应的解决方法为:

  • 深度问题
    • 可以对搜索深度加以限制
  • 死循环问题
    • 记录从初始状态到当前状态的搜索路径

深度优先搜索的性质:

  • 一般不能保证找到最优解
  • 当深度限制不合理的时候可能找不到解
  • 最坏的情况是穷举
  • 是一个通用方法,与问题无关
  • 节省内存。只储存从初始节点到当前节点的路径。主要是因为按顺序搜索

My Remark:

  • 深度优先是一个很好的框架,在这个框架上可以衍生出很多算法。课上给出的LISP写的框架要理解,每一步的作用,为什么这样做。
  • 深度优先的典型例子:四王后问题 4Queen

宽度优先算法

优先扩展深度浅的结点
学宽度优先的时候第一次引入了OPEN表和CLOSE表(大概?)那节课没去听不知道怎么讲的。

每一层每一层展开,对于每一层,遍历OPEN表,展开之后把父结点放进CLOSE表中。

宽度优先算法的性质:

  • 当问题有解时,一定能找到解
  • 当问题为单位耗散值,且有解时,一定能找到最优解
  • 与宽度优先一样,有通用性
  • 效率比较低
  • 储存量大

My Remark
感觉宽度优先不是很有用,特别是问题比较复杂(可能的情况很多)的时候。
迭代加深搜索

宽度优先和深度优先都有明显的缺点,所以就有了这个迭代加深搜索,来解决上述两个方法不能找到最优解的问题。主要思想是给深度优先方法一个比较小的深度限制,然后逐渐增加深度限制,直到找到解,或者遍历全局(反正最后都是有可能遍历全局还找不到解的啊www)。

迭代加深搜索的计算时间分析

对于一个满b叉树,设最佳深度为d,则:

  • 宽度优先产生的节点数:
    N_{SF}=\sum_{i=0}{d}b{i}=\dfrac{b^{d+1}-1}{b-1}
  • 迭代加深搜索产生的节点数:
    N_{IDBT}=\sum_{i=0}b(d-i+1)bi=\dfrac{b}{b-1}N_{BF}-\dfrac{d+1}{b-1}
  • b>2\Rightarrow N_{IDBT}<\dfrac{b}{b-1}N_{BF}

启发式搜索

相比盲目搜索的。盲目搜索相当于,要么优先深度,要么优先宽度,按照指定的方法来搜,跟问题没有关系。事实上我们总是能对问题做出一些基础分析,来降低搜索的工作量。这些基础分析,构成启发信息,就是启发式搜索了。所以启发式搜索方法的一个显著优点是可以降低工作量。但是因为有一些引导信息,所以可能找到的解不是最优解。而且由于需要计算启发信息,在最差的情况下,退化成盲目搜索,而且比盲目搜索工作量大(但是很少这么倒霉的啦)。

A算法

定义评价函数:

    f(n)=g(n)+h(n)
    
其中,f(n)为评价函数,h(n)为启发函数

通俗地解释,对于结点n,g是从起点到n的最短路径(严格地说,最短路径的耗散值),h是n到目标点的最短路径的耗散值。定义f为g和h的和,显然这个f是可以评价n这个结点的好坏的。

My Remarks

  • A算法的一个例子是8数码问题。从这个例子可以感受到启发式算法还是很神奇的。

A*算法

在A算法中,如果满足条件:

$h(n)\leq h^*(n)$

那么称A算法为A*算法。

  • A*算法的两个主要结论:
    • 如果从初始结点到终点,存在路径,那么A*一定能找打最优解(可采纳性定理)
    • 如果$h2(n)>h1(n)$,那么有$A1$的扩展结点数$\geq A2$的扩展结点数。
      • 注意这里,扩展结点数指的是被扩展的结点的个数,也就是说每个结点最多只能被记数一次。
  • h函数的生成方法:其中一个方法是,放宽原问题的条件,使原问题变为一个易于求解h的问题,用这个新问题的h*来代替h。

Vital Remarks

  • A算法的停止条件,是到达目标点(h(n)=0),且目标点的f值在OPEN表中最小。这一点需要特别注意,因为有的时候,虽然达到了目标点,但是并不是最优路径,或者并不是最优目标点。
  • 在一些例子中,会发现,有些节点会被多次拓展。这是因为,这个被多次拓展的结点,在第一次被拓展的时候,并不是按照最优路径拓展的。为了避免这种多次拓展,可以采取以下两种方法:
    • 对h加以限制。如果h是单调的,那么就可以避免多次拓展。
      • h单调的定义:如果一个父结点到子节点的耗散值,大于子节点的h和父结点h之差,或者h=0,那么h是单调的。(h单调的本质是,任何一个路径,f的变化趋势与g是一致的,不回因为h的变化,使得f和g的变化趋势不同。)
      • h单调是A*算法的必要条件。(由h单调的定义,用反证法可以轻易证明。)
    • 对算法进行修正。修正过程A:令$f_m$是目前已经扩展的结点中,最大的f。在进行下一步拓展时,选取f值比$f_m$小的结点,形成NEST表。选取NEST表中g值最小的点进行拓展。
      • 由于h=0时,h是单调的,所以修正过程A中的h也是单调的,也就避免了重复扩展的问题。

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