Codeforces Round #609 (Div. 2)E--K Integers（贪心+二分+树状数组+逆序对）

K Integers

参考博客：https://blog.csdn.net/Q755100802/article/details/103664555

 

【题意】

给定一个1到n的排列，可以交换相邻的两个元素。

现在定义一个函数f(x)，表示在原排列中，通过交换操作，形成一个1,2,3....x的排列的子串，需要的最小操作步骤。

子串意味着这个排列必须是相邻的。现在你需要求出f(1)，f(2)，f(3)......f(n)。

【分析】

在1~x这几个元素相邻的情况下，因为最后排列不存在逆序对，根据贪心思想，每一次操作都消除一对逆序对，这样每一次操作才不会浪费，所以，相邻的答案就是逆序对的个数。

不相邻的情况，如何移动才能使操作步数最少呢？答案应该是先将i个元素移动到一块儿，变成相邻的情况，再交换逆序对，这样才是最优的，（即答案为逆序对个数+往中间凑所移动的最小步数）因为这样操作，对于中间的每个不是当前排列的元素，他只会越来越往外面走，而不是混在i个元素中，造成操作的浪费。首先我们将所有元素移动到一块儿，移动到哪儿合适呢？位置mid应该是左右两边的元素个数尽量相等，这样我们就可以二分中间位置mid了；

然后，我们需要计算将元素尽量向中间点mid移动的花费，我们可以分为两部分：mid左边的部分，设个数为cnt(可以用树状数组O(log)求），假设cnt=2，如下图：

 

 

 

pos2移动到mid，需要花费mid-pos2；pos1移动到mid-1，需要花费mid-pos1-1；

如果还有pos3，pos4，花费也是同样计算的。假设位置pos之和为sum，花费为

 

这就是左边的花费。

右边的同理，尽量往mid+1这个位置移动，假设右边的所有位置之和为sum，个数为cnt，花费为

 

 AC_Code:

 1 #include 
 2 typedef long long ll;
 3 const int maxn=2e5+10;
 4 using namespace std;
 5 #define lowbit(i) ((i)&(-i))
 6 ll n,cnt,invnum,num,t;
 7 ll sum1[maxn],sum2[maxn],pos[maxn];
 8 
 9 void updata(ll sum[],int i,int k){
10     while( i<=n ){
11         sum[i]+=k;
12         i+=lowbit(i);
13     }
14 }
15 
16 ll getsum(ll sum[],int i){
17     ll res=0;
18     while( i ){
19         res+=sum[i];
20         i-=lowbit(i);
21     }
22     return res;
23 }
24 
25 ll bs(ll le,ll ri,ll num){
26     ll mid;
27     while(le<=ri){
28         mid=(le+ri)>>1;
29         if( getsum(sum1,mid)*2<=num ){      //注意我们是按顺序插入1~i,getsum(sum1,mid)就是问mid位置及以前的位置之前有几个数,
30                                             //我们要的情况是mid前后个数均分的情况
31             le=mid+1;
32         }
33         else ri=mid-1;
34     }
35     return le;
36 }
37 
38 signed main()
39 {
40     scanf("%lld",&n);
41     invnum=0;
42     for(int i=1;i<=n;i++){
43         scanf("%lld",&t);
44         pos[t]=i;
45     }
46     for(int i=1;i<=n;i++){
47         updata(sum1,pos[i],1);
48         
49         //pos[i]:i的位置,1~i【共有i个已经插入的数】的位置已经加1了,getsum(sum1,pos[i])i的位置的前面有几个加了1,
50         //也就是有几个比i小的数在i的前面,这几个数是不构成逆序数的
51         //那么剩下的就是i-query(pos[i])就是i所造成的逆序数
52         invnum+=(i-getsum(sum1,pos[i]));    //求逆序数
53         updata(sum2,pos[i],pos[i]);
54         ll l=1,r=n;
55         ll mid=bs(l,r,i);                   //二分找位置
56         ll ans=0;
57         cnt=getsum(sum1,mid);               //左边的个数
58         num=getsum(sum2,mid);               //左边的位置和
59         ans+=invnum;
60         ans += mid*cnt-num-cnt*(cnt-1)/2;
61 
62         cnt=i-cnt;                          //右边的个数
63         num=getsum(sum2,n)-num;             //右边的位置和,前缀和思想
64         ans += num-cnt*(mid+1)-cnt*(cnt-1)/2;
65         printf("%lld ",ans);
66     }
67     printf("\n");
68     return 0;
69 }