关于内积

这是在看别人的稿子的过程中突然形成的一个想法。
　　当然，和我在看的稿子半毛钱关系没有……
　　另，我自己投出去的稿子最近也要开始修改了，我擦……

问题的起源是这样的【大概会有很多人看不懂，所以，看不懂不要勉强】——

一个微分流形上给定了度量结构，但这个度量不是Riemann的，而是Finsler的。
　　这本身并没有什么问题，“传统”的Finsler几何可以解决这个问题。
　　但我对此表示不满意。
　　不满意的起源是关于Finsler流形上的内积的。
　　按照传统Finsler的定义，内积借助于定义在节丛上的Finsler度规：

　　可是，定义在节丛上就意味着，我们光知道求内积的坐标位置以及求内积的那两个矢量还不行，还需要“第三方”的参与，这样才行。
　　这也就意味着，矢量A与自身的内积并不等于矢量A的度量的平方，而取决于那“第三方”矢量。
　　我们可以很机智地认为这第三方代表了观测者，于是数学顿时和物理有了联系，但这样的联系是非常扯淡的——可，这却是Finsler几何的基本思路，一切从节丛出发。
　　那么，是否可能存在不依赖于第三方矢量的Finsler流形上的内积定义方法呢？

从内积的定义我们可以知道，如果我们要求矢量A与自身的内积等于A的度量的平方这一联系内积与度量的条件成立，那么这样的东西在Finsler度量下是不存在的。
　　这个证明很容易，从内积的定义和上述度量给出的约束条件出发很容易就能证明。
　　于是，现在的问题是我们要如何做出选择，保留什么，放弃什么。

比如说，当年在面对几何学公设的时候，有人选择放弃第五公设，结果就从平直几何延拓到了Riemann几何。

传统Finsler几何的做法，是放弃上述约束关系，从而所有的计算现在都依赖于一个第三方矢量，或者说依赖于在节丛上的位置，而非简单的在切丛上的位置（节丛就是切丛的切丛）。
　　但，放弃的方法未必就只能选择这一条路。

本质上来说，数学是一个在给定了初始条件和推演规则后的形式系统，这个初始条件本身并没有任何明确的限制。
　　所以，你可以选择放弃切丛而选择节丛，我也可以选择继续保留切丛，但放弃的是对易性这个内积的另一个基本属性。

你看，放宽群的定义，我们可以有半群，但也可以有环群和拟群。它们都是在群的基础上舍弃不同的东西而出现的不同的对象。

回到Finsler的问题上来，如果舍弃对易性，那么就是说从A到B的内积与从B到A的内积可以是不同的，而优点便是可以保留内积至于A和B有关的特点，以及A和A的内积精确地等于A的度量的平方。
　　当然，即便如此，可能的内积形式依然有很多种，上述条件并不能唯一地确定内积的形式。

接下来就有些好玩了。
　　Finsler度量在最开始的时候，有一个特点便是如果矢量A和将A完全反演之后的矢量的度量是相同的，即：

　　满足这点的Finsler度量成为强齐次的。
　　但，后来的发展中，这一要求被去除，于是强齐次性不再必须，取而代之的是一般齐次性：

　　于是，让我们考虑这么一个问题：
　　一个Finsler流形上的球丛，于是每个点的球纤维上都可以诱导出一个球面Finsler度量，这个度量是非强齐次的，内积也是非对易的，那么这个诱导度量与内积之间是不是会有什么关系呢？

这个问题非常开放性，而且在传统的Riemann流形上并不存在这样的问题——Riemann流形在球丛的诱导度量是对称的，而且也是Riemann度量。
　　事实上，Riemann球丛的任意球纤维上的圆环的周长都是π，而AB的内积与AB在球丛上的映射之间的度量的关系可以通过一个角度值来表示：

　　顿时有一种回到了初等几何的感觉。。。

如果我们认为这个关系是可以被延拓的，那么我们就可以以此建立Finsler内积。
　　通过Finsler度量诱导出单位球（或者说指标球）上的诱导Finsler度量，这个度量一般是非强齐次的。
　　然后，A和B在球面上的投影为点P和Q，过球面上PQ两点的弧的周长为L，而从P到Q的度量为f，于是有：

　　由此可以获得A和B的夹角，从而可以通过这个夹角来获得A和B的内积（之前那张图的第一个式子）。
　　这样的方案看上去似乎还挺自然的，而且，可以很自然地退化到Riemann几何的形式。

当然，这么一来的缺点也是显而易见的，那就是将原本就已经极复杂的内积（传统Finsler几何的内积）变得更加复杂（现在不存在直接从流形Finsler度量来获得内积的方法，必须要构造诱导度量然后求弧面积分……）。
　　另一方面，对易性的丧失也要求我们现在在处理内积的时候要非常小心先后顺序。
　　当然，这倒也不是什么新鲜事，它可以看作是在传统对易的内积的基础上追加了一个本不参与内积的扰率部分。这一部分虽然是额外增加的，但却能对应到扰率，说不定也会有点意思。

当然，这里要说明的是：这和非对易几何没啥关系，不要看着名字有非对易就过度联想——对，我是说我自己。

这个方案与传统Finsler几何的着手点完全不同，所以估计能得到截然不同的结果。
　　好处是现在用这个方案来做物理的话你不用考虑那个头疼的第三方矢量是谁，从而消除一系列蛋疼的问题。
　　缺点，就如前面所说的，引入了大量比原本极度恶心的Finsler复杂度更复杂的计算量。基本只能看着它等死了吧。。。。。。