基础-11:最小生成树(MST)

概述

最小生成树(minimum spanning tree)是图计算中基本的问题,背后的问题非常直接,假设无向连通图G(V, E),且E中的每条边e有权值(可以表示距离、价值等),找出一颗树,连接G中所有的边,且连接这棵树的所有边的权值之和最小。在电子制造中,如何以最低的成本连接多个针管便是这一问题。

相关概念及算法

下面以一个图来对此进行说明:

基础-11:最小生成树(MST)_第1张图片
图1:最小生成树示例

图1中灰色的线是最小生成树中的边。图中有9个节点,连接此9个节点的最小生成树有8条边,问题是: 如何选择这8条边

前面两课中介绍了动态规划和贪心算法,都是用来解决最值问题,本文中的最小生成树很显然也属于此类。最小生成树使用贪心算法,文中会对贪心算法的使用进行说明。

假设mst是最终要求的最小生成树,若A是最小生成树mst边集的子集,如果每次选择一条边(u, v)加入A,并且确保A始终是mst边集的子集,则最终得到的A必然是mst最小生成树的边集。这样的边(u, v)称为A的安全边。安全边即为可以选择的边。

为了得到安全边,下面介绍一些概念。无向图G=(V,E)的一个切割(S, V-S)是节点集V的一个划分,如图2所示:

基础-11:最小生成树(MST)_第2张图片
图2: 图切割的示例

显然,一个切割将图划分为两部分。如果一条边(u,v),u在S中,v在S-V中,则称边(u,v)横跨切割(S, V-S)。如果集合A中不存在横跨该切割的边,则称该切割尊重A;在横跨切割的所有边中,权重最小的边称为轻量级边(注:轻量级边可能不是唯一的)。

分析:理解上面的定义,假如切割(S, V-S)尊重A,即A中不存在连接切割(S, V-S)的边,要使A最终成长为mst的边集,则必然要求加一条横跨切割(S, V-S)的边,显然,轻量级边就是目标选择!!!

下面的定理和推论保证了Kruskal和Prim算法的正确性,感兴趣的童鞋可以自己证明或参考算法导论中的说明。

定理1: 设G=(V,E)是一个在边E上定义了实数值权重函数w的连通无向图,设A为E的一个子集,且A包括在图G的mst中,设(S, V-S)是图中尊重A的任意一个切割,(u, v)是横跨切割(S, V-S)的一条轻量级边,那么边(u,v)对于集合A是安全的。

推论1: 设G=(V,E)是一个在边E上定义了实数值权重函数w的连通无向图,设A为E的一个子集,且A包括在图G的mst中,设C=(Vc, Ec)为森林GA=(V, A)中的一个连通分量(树)。如果(u,v)是连接C和GA中某个其它连通分量的一条轻量级边,则(u, v)对于集合A是安全的。

根据定理1和推论1,构造最小生成树可以有两种方式,一种是切割的角度,一种是森林的角度。切割的角度:先从图中选取一个点n1,划一个切割({n1}, V-{n1}),然后找这个切割的轻量级边以及这个边在 V-{n1}的节点n2;然后再划一个切割({n1, n2}, V-{n1, n2}),再找出对应的轻量级边,...,直到所有的节点,每一步中找到的轻量级边组成的集合为最小生成树中的边。

森林的方式是:首先将每个节点都看成一个连通分量(此时有n个连通分量),寻找连通连接连通分量权值最小的边(u, v),(u, v)连接的连通分量为C1和C2,则(u, v)连接后,合成一个更大的连通分量C12(此时有n-1个连通分量);然后对n-1个连通分量继续实施上述类似的动作,直至最后变成一个连通分量。

切割的角度对应的是Prim算法,森林的方式对应的是Kruskal算法,算法本身都很简单,在此不再赘述,下面两组从算法导论中摘取的图很好地解释了对应的算法。

基础-11:最小生成树(MST)_第3张图片
Kruskal算法示意流程图
基础-11:最小生成树(MST)_第4张图片
Kruskal算法示意流程图(续)
基础-11:最小生成树(MST)_第5张图片
Prim算法流程示意图

小结

最小生成树是图计算中的基本算法,理解算法的关键是切割基础上的轻量级边,上文的说明中野间接解释了利用贪心算法的正确性,相对而言,最小生成树是较为简单和基础的算法,是其他算法的基础。

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