拉普拉斯老妖和三体问题：预测为何如此之难？

科学的一大特性，就是所构建的理论可以用来解释现象并预测未来。这方面做的最好的是物理学 -- 经典力学、电磁学、相对论、量子力学。可以说我们日常生活中的大部分产品，汽车、家电、手机等，都是物理学的产物。牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦、波尔、海森堡等人，用几个简单的数学公式就完美的实现了解释和预测，物理学毫不夸张的说彻底拓宽了人类的认知模式和边界，以至于世界不再需要哲学家了。

但是，在物理学、化学等硬科学之外，人类的预测能力却十分有限。我们至今也无法对超过两周的天气预报作出精准预测，我们甚至完全无法预测地震，我们也无法准确预测哪怕一场足球比赛的进程甚至比分，我们更无法预测一个国家的经济起飞和危机。

复杂系统的预测之难，大家一般认为是因为人有自由意志。但事实是，即便没有人的自由意志参与，纯粹的牛顿经典力学的宏观领域，准确预测仍然是不可能的。

拉普拉斯老妖

拉普拉斯

拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace,1749－1827，法国) 是天体力学的奠基人之一，他将牛顿三大定律和万有引力定律引入天体力学的研究中，取得了瞩目的成就。他还在数学尤其概率论方面作出了诸多贡献，以他名字命名的数学方法就包括：拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程。

拉普拉斯提出了一个经典力学时代的著名科学假设，世界是可以被决定的吗？

我们可以把宇宙现在的状态视为其过去的果以及未来的因。假若一位智者会知道在某一时刻所有促使自然运动的力和所有组构自然的物体的位置，假若他也能够对这些数据进行分析，则在宇宙里，从最大的物体到最小的粒子，它们的运动都包含在一条简单公式里。对于这位智者来说，没有任何事物会是含糊的，并且未来只会像过去般出现在他眼前。

—— 拉普拉斯，1814 年「概率论」

这个所谓的智者，就是拉普拉斯老妖。

当然，老妖探讨的是终极认知问题，但这个问题的现实意义是，假设老妖理论上是存在的，那我们就可以在我们所需要的领域构建一个系统，如果掌握了此时此刻所有相关信息，而且这个系统足够智能，尤其在机器智能不断进步和大数据不断积累的今天，我们能否做到预测未来呢？

彭加莱和三体问题

三体问题

彭加莱 (Jules Henri Poincaré，1854 - 1912，法国) 虽然名声显赫，但是是一位价值被严重低估的数学家和思想家，甚至有人认为他先于爱因斯坦提出了相对论。

早在 18 世纪，世界依然处于牛顿力学时代时，物理学家就对三体问题展开了研究。天体力学中的两体问题，指的是已知两个天体的位置，速度和质量，只考虑两个万有引力相互作用，它们会如何运行？很容易就求解出这个问题的准确解。三体问题，就是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间只有万有引力的作用下的如何预测其运动规律。

这个看似简单的问题，竟然困扰了科学家很多年 ，直到彭加莱的加入，他甚至为此发明了很多数学方法来进行论证。他的结论是：

三体问题无解。准确地来说，是数学上非线性，无解析解，只有数值解。但是在计算数值解的过程中，初始的微小误差会被不断放大，以及计算叠加过程中本身的计算误差，从而导致最终无法获得一个稳定的数值，从而无法预测三体的运动状态，结果是混沌 (Chaos) 。

即便像三体且只有万有引力这么简单的模型，初始状态的一个微小的变动，都会导致后来的状态有极大的不同；或者哪怕初始状态是一样的，两次预测的结果也会不一致，那更加复杂的系统岂不是完全无法预测了？

蝴蝶效应

上个世纪六十年代，美国气象学家洛伦茨（Edward Norton Lorenz，1917－2008）在对大气建模时，发现了一个不可思议的现象，算出来的天气一会儿晴天一会儿下雨：完全相同的一份数据，多保留小数点后一位数，计算出来的就是晴天；少保留一位小数，计算出来的就是下雨。他起初以为这是计算机浮点误差导致的，后来发现这个结果的巨大差异竟然来自数学计算本身，其实就是计算的非线性。

我们见到的大多数物理问题，比如说用 F = ma 求解力的大小，都是加减乘除的线性运算。如果 a 的误差是 1%，那么 F 的误差也是 1%，这样的计算结果是有意义的。

然而，如果把大量牛顿物理下的规律，或者公式都组合在一起，那么就会产生一个超级复杂的公式，如果你运气不好，很容易产生一个非线性的算式。举个算术上的小例子:

著名鸡汤，每天进步一点点

1.01 和 0.99 的误差只有 2%，但是套用这个算式计算后的结果却相差超过100倍。更有甚至，如果我们的算式需要乘方后再乘方，那么输入的轻微变化就会造成结果的完全不同，看上去似乎是完全随机的。以至于人们说：

亚马逊雨林一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，会在德克萨斯引起龙卷风吗?

在一个完全决定论的体系中，居然也能出现一些几乎是随机的现象！所有的运动都可以靠力学得到完整而精确的计算，然而，多按一个数字都会导致结果完全不同，这对想要预测宇宙的我们来说完全失去了意义。

拉普拉斯老妖顽强的活着

哲学意义上，拉普拉斯老妖已死。于是老妖不再试图预测任意时刻的宇宙状态，它把自己的能力限制在有限的时间里，以有限的精度预测未来。回到三体问题：当初始状态足够精确时，它可以预测出其中一个球在一段时间以后的速度，误差可控。

这其实就是我们今天看到的天气预报，我们无法长期的准确预测，但是在一个特定的地区，作出几天乃至一周左右的天气预测 ，准确度还是相对较高的。

当我们知道了拉普拉斯老妖的命运，明白了三体问题的困难和蝴蝶效应，我们就会对复杂系统的预测心生敬意。哪怕再知名的专家，其实在预测复杂问题上，都很难比普通人好很多。

萨缪尔森曾经说过：我们经济学家们对过去发生的五次经济危机，预测准了九次！