多路搜索树 & B 树 & B+树 学习笔记

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B树是一种查找树，目的都是为了解决某种系统中，查找效率低的问题。
二叉查找树的特点是每个非叶节点都只有两个孩子节点。然而这种做法会导致当数据量非常大时，二叉查找树的深度过深，搜索算法自根节点向下搜索时，需要访问的节点也就变的相当多。
如果这些节点存储在外存储器磁盘中，每访问一个节点，相当于就是进行了一次I/O操作，随着树高度的增加，频繁的I/O操作一定会降低查询的效率。

B树的基本逻辑就是这个思路，它要改二叉为多叉，每个节点存储更多的指针信息，以降低I/O操作数。

B 树

一颗 m 阶的B树是一颗平衡的 m 路搜索树，它或者为空树，或者满足下列条件：

• 每个结点最多有 m 个孩子
• 除根结点外，每个非叶子结点至少有 [ceil(m/2)] 个孩子结点
• 若根节点不是叶子结点，则它至少有 2 个孩子
• 有 k 个孩子的非叶子结点有 k-1 个关键码，关键码按递增次序排列
• 所有的叶子结点都在同一层。B树的叶子结点可以看作一种外部结点，不包含任何信息

一个标准的 B树 如下图：

B树

有关B树的一些特性：

• 关键字集合分布在整颗树中；
• 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
• 搜索有可能在非叶子结点结束；
• 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

B树的高度

所以当B树包含 N 个关键字时，B树的最大高度为 K-1（因为计算B树高度时，叶结点所在层不计算在内），即：K - 1 = log┌m/2┐((N+1)/2 )+1。

在搜索B树时，很明显，访问节点（即读取磁盘）的次数与树的高度呈正比，而B树与平衡的或者普通的二叉查找树相比，虽然高度都是对数数量级，但是显然B树中 log 函数的底可以比 2 更大，因此，和二叉树相比，极大地减少了磁盘读取的次数。

B树的搜索

查找关键字为29的文件

搜索关键字的29的文件的过程：

• 从根节点开始，读取根节点信息，根节点有2个关键字：17和35。因为17 < 29 < 35，所以找到指针P2指向的子树，也就是磁盘块3（1次I/0操作）
• 读取当前节点信息，当前节点有2个关键字：26和30。26 < 29 < 30，找到指针P2指向的子树，也就是磁盘块8（2次I/0操作）
• 读取当前节点信息，当前节点有2个关键字：28和29。找到了！（3次I/0操作）

B树的插入

首先找到要插入的关键字应该插入的叶子节点 u。如果 u 是满的，那么由于不能将一个关键字插入满的节点，我们需要对 u 按其当前排在中间关键字u.keyt 进行分裂，分裂成两个节点 u1，u2；同时，作为分裂标准的关键字 u.keyt 会被上移到 u 的父节点中，在 u.keyt 插入前，如果 u 的父节点未满，则直接插入即可；如果 u 的父节点已满，则按照上面的方法对u的父节点分裂，这个过程如果一直不停止的话，最终会导致B树的根节点分裂，B树的高度增加一层。

B树的删除

删除操作的基本思想和插入操作是一样的，都是不能因为关键字的改变而改变B树的结构。
插入操作主要防止的是某个节点中关键字的个数太多，所以采用了分裂；删除则是要防止某个节点中，因删除了关键字而导致这个节点的关键字个数太少，所以采用了合并操作。

• 如果在当前节点中，找到了要删的关键字，且当前节点为内部节点。那么，如果有比较丰满的前驱或后继，借一个上来，再把要删的关键字降下去，在子树中递归删除；如果没有比较丰满的前驱或后继，则令前驱与后继合并，把要删的关键字降下去，递归删除；
• 如果在当前节点中，还未找到要删的关键字，且当前节点为内部节点。那么去找下一步应该扫描的孩子，并判断这个孩子是否丰满，如果丰满，继续扫描；如果不丰满，则看其有无丰满的兄弟，有的话，从父亲那里接一个，父亲再找其最丰满的兄弟借一个；如果没有丰满的兄弟，则合并，再令父亲下降，以保证B树的结构。

B+树

B+树是B树的一种变形，它更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引。
m 阶的B+树的特征：

• 有 n 棵子树的非叶子结点中含有 n 个关键字（B树是n-1个），这些关键字不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点（B树是每个关键字都保存数据）。
• 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
• 所有的非叶子结点可以看成是索引部分，结点中仅含其子树中的最大（或最小）关键字。
• 通常在B+树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。
• 同一个数字会在不同节点中重复出现，根节点的最大元素就是B+树的最大元素。

一个标准的 B+树 如下图：

B+树

B树 Vs B+树

B+树和B树相比，主要的不同点在以下2项：

• 内部节点中，关键字的个数与其子树的个数相同，不像B树种，子树的个数总比关键字个数多1个
• 所有指向文件的关键字及其指针都在叶子节点中，不像B树，有的指向文件的关键字是在内部节点中。换句话说，B+树中，内部节点仅仅起到索引的作用，在搜索过程中，如果查询和内部节点的关键字一致，那么搜索过程不停止，而是继续向下搜索这个分支。

根据B+树的结构，我们可以发现B+树相比于B树，在文件系统，数据库系统当中，更有优势，原因如下：

• B+树的磁盘读写代价更低
  B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说I/O读写次数也就降低了。

• B+树的查询效率更加稳定
  由于内部结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

• B+树更有利于对数据库的扫描
  B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题，而B+树只需要遍历叶子节点就可以解决对全部关键字信息的扫描，所以对于数据库中频繁使用的 range query，B+树有着更高的性能。

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引用：
B树与B+树
平衡二叉树、B树、B+树、B*树 理解其中一种你就都明白了
B树(B-树)、B+树、AVL树、B*树
b树和b+树的区别