高数——换元法——学习笔记（25）

第一换元法和第二换元法的区别

都是在不定积分里提到的解决不定积分的办法 。

第一类换元积分法也称凑微分法，适用于两个式子相乘的形式，是复合函数求导的逆运算 。

第二类换元积分法是变量代换法，主要有三角代换，根式代换和倒代换，适用于积分式中有根式的。 第二换元法是把被积函数里的积分变量x换成一个新的函数g(t)，同时把dx也换成[g(t)]'dx 至于g(t)是怎么来的 有一定的规律,但也不是绝对的 通常也是把被积函数里的某部分设成t,再反解出x=g(t)

不管是不定积分第一类换元法，还是第二类换元法，都是采用变量代换的方法，来达到简化不定积分的目的。

利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。

简单介绍第二类换元法中常用的方法：

（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令 t =√(ax+b）；

（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：

被积函数含根式√(a^2-x^2），令 x = asint

被积函数含根式√(a^2+x^2），令 x = atant

被积函数含根式√(x^2-a^2），令 x = asect

注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。

还有几种代换形式：

（3）倒代换（即令 x = 1/t）：设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当 n-m＞1时，用倒代换可望成功；

（4）指数代换：适用于被积函数由指数 a^x 所构成的代数式；

（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令 t = tan(x/2)

凑微分（第一类换元）

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