高数——换元法——学习笔记(25)

第一换元法和第二换元法的区别

都是在不定积分里提到的解决不定积分的办法 。

第一类换元积分法也称凑微分法,适用于两个式子相乘的形式,是复合函数求导的逆运算 。

第二类换元积分法是变量代换法,主要有三角代换,根式代换和倒代换,适用于积分式中有根式的。 第二换元法是把被积函数里的积分变量x换成一个新的函数g(t),同时把dx也换成[g(t)]'dx 至于g(t)是怎么来的 有一定的规律,但也不是绝对的 通常也是把被积函数里的某部分设成t,再反解出x=g(t)

不管是不定积分第一类换元法,还是第二类换元法,都是采用变量代换的方法,来达到简化不定积分的目的。

利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式 x = φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难,因此我们设法作代换消去根式,使之变成容易计算的积分。

简单介绍第二类换元法中常用的方法:

(1)根式代换:被积函数中带有根式√(ax+b),可直接令 t =√(ax+b);

(2)三角代换:利用三角函数代换,变根式积分为有理函数积分,有三种类型:

被积函数含根式√(a^2-x^2),令 x = asint

被积函数含根式√(a^2+x^2),令 x = atant

被积函数含根式√(x^2-a^2),令 x = asect

注:记住三角形示意图可为变量还原提供方便。

还有几种代换形式:

(3)倒代换(即令 x = 1/t):设m,n 分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数,当 n-m>1时,用倒代换可望成功;

(4)指数代换:适用于被积函数由指数 a^x 所构成的代数式;

(5)万能代换(半角代换):被积函数是三角函数有理式,可令 t = tan(x/2)


凑微分(第一类换元)

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