斯特林定理的应用

最近做了杭电上的一个题hdu1018，就是求一个数的阶乘有多少位数。比如10！= 3628800，有7位数。所以，当输入10的时候就输出7。开始以为很简单，看了一下数据范围n <= 10e7就懵逼了。傻傻地在那里找规律，无果，只好狼狈的百度了。

** 先看下题： **

在百度途中get到了一个新知识，我们都知道由 1og10（N） = X可以转换成 10eX = N，那么就可以得到N的位数就为X+1，因为10有两位数，所以要加1。（10e2 = 100，3位数）。也就是说， (int)(log10(N)) + 1就是N的位数。

又因为n! = n(n - 1)(n - 2)......3 * 2 * 1，设n!的位数为k，则k = (int)(log10(n!)) + 1 = (int)(log10(n) + log10(n - 1) + log10(n - 2) +......+ log10(3) + log10(2) + log10(1)) + 1;
2秒10的7次方可以过。所以可以得到如下暴力代码：

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当然，重点在这里，更简单的办法：

** 斯特林定理： **

同时对两边取对数： log10(n!) = log10(sqrt(2 * PI * n)) + n * log10(n / e);所以 k = (int)(log10(sqrt(2.0 * PI * n)) + n * log10(n / e)) + 1;
很容易写出代码：

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关于斯特林的证明，百度上说的很详细了，这里就不累赘了。(^__) 嘻嘻……