图（网络）分析之中心性分析

  中心性（Centrality）是图（网络）分析（graph/network analysis）中常用的一个概念，用以表达图（网络）中一个顶点在整个网络中所在中心的程度，也称之为中心度。根据测定中心性方法的不同，可分为度中心性（Degree centrality，根据方向的不同，又分为入度中心性（InDegree），出度中心性（OutDegree）等），接近中心性（或紧密中心性，Closeness centrality），中介中心性（或介数中性线，Betweenness centrality）等。下图给出了简单的示例。其中X相比Y相应的中心性都高。

image.png

度中心性 （Degree centrality）

  度中心性最早Linton C. Freeman在1979年的论文Centrality in Social Networks Conceptual Clarification中提出的。度中心性可以用来发现图（网络）中与其他点关联最多的顶点，并且可以用来计算整个图的最大度（出度/入度），最小度（出度/入度），平均度（出度/入度）等。
一个顶点的度中心性指的是该顶点关联的其他顶点个数（这里不考虑方向）。因此，度中心性越大的顶点其重要性越大。入下图所示。

image.png

通常，为了便于比较或者进行其他计算，需要将度中心度进行标准化。标准化的方式通常是每个顶点的度除以图中可能的最大度数，即N-1，其中N表示图中的顶点个数：

下图是标准化之后的度中心性示例：

image.png

中介中心性 （Betweenness centrality）

  中介中心性最早由Linton Freeman于1971年在论文 A Set of Measures of Centrality Based on Betweenness中提出，主要用于衡量一个顶点在图或网络中承担“桥梁”角色的程度，该中心性经常用于反欺诈场景里中介实体的识别。中介中心性用于衡量一个顶点出现在其他任意两个顶点对之间的最短路径的次数，也就是说，如果一个顶点出现在任意两个顶点间最短路径的次数越多，那么该顶点的中介中心性就越大。该算法的第一步要找出任意两个顶点之间的最短路径（通常使用广度优先算法，深度大于1度），然后统计出所有最短路径中，每个中间顶点出现的次数。下图给出了几种常见的示例：

image.png

接下来我们针对一种特殊情况，解释中介中心性的计算过程。如下图所示，由A,B,C,D,E四个顶点。那么我们可以得到如下的最短路径序列(暂不考虑方向)：

A-C: A，B，C
A-D:A，B，C，D
A-E:A，B，C，D，E
B-D:B，C，D
B-E:B，C，D，E
C-E:C，D，E

  因此，A出现在最短路径中间的次数为0，B出现在最短路径中间的次数为3，C出现在最短路径中间的次数为4，D出现最短路径中间的次数为3， E出现在最短路径中间的次数为0。所以我们可以得出图中顶点对应的中介中心度。

image.png

  在网络分析中，之所以会这么重视桥的概念，就是两个分离的大团体间，若彼此信息要交流、意见要沟通，行动要协调的话，作为桥的人就非常重要。能够中介两群人之间的互动与信息，其中介性就很高，在社会网络分析中衡量一个人作为桥的程度的指针就是中介性。

接近中心性 （Closeness centrality）

  接近中心性主要用于计算每个顶点到其他所有顶点的最短距离之和。然后将得到的和反过来确定该节点的接近中心性得分。原生的接近中心性计算方式如下：
其中表示图顶顶点的个数，表示顶点到顶点的最短距离。更常见的作法是将此分数标准化，使其表示最短路径的平均长度，而不是它们的和。标准化的接近中心性计算公式如下：
其中表示图顶顶点的个数，表示顶点到顶点的最短距离。如果节点到图中其它节点的最短距离都很小，那么我们认为该节点的Closeness Centrality高。这个定义其实比Degree Centrality从几何上更符合中心度的概念，因为到其它节点的平均最短距离最小，意味着这个节点从几何角度看是出于图的中心位置。

image.png

我们以上图为例，简单介绍一下接近中心性的计算过程：

A: sum(A) = 1+2+3+4=10, centrality=4/10
B: sum(B) = 1+1+2+3=7, centrality=4/7
C: sum(C) = 1+1+2+2=6, centrality=4/6
D: sum(D) = 1+1+2+3=7, centrality=4/7
E: sum(E) = 1+2+3+4=10, centrality=4/10

参考：

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Centrality
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Betweenness_centrality
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Closeness_centrality