正弦函数求导公式基本推导

以前背过正弦函数的求导公式，就是sin'x = cos x，可是总也没推导过。这两天看了很多网上的推导做法，简直是误人子弟。含糊不清的，曲线救国的，各种做法满天飞，也是好笑。在这儿，我尽量地再仔细地推导一遍，本着“为往圣继绝学”的远大理想，为伟大的科普事业添砖加瓦罢。

函数式求导公式的推导是有一个基本原则的：用极限的手段，推导函数式在自变量变化的同时，因变量的变化趋势。用几何中的说法就是，导式就是斜率的函数式。

废话不多说，以下正弦函数的求导公式证明，会用到导数的定义、三角函数的部分推导式、三角函数的几何特性和高等数学的夹逼定理等手段，来做一次“步骤无跳跃”的推导。

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第一阶段的推导：

第一阶段

上图中第一行是求导公式的定义，第二行是借助了三角函数的 和差化积公式（如下）

和差化积公式

第三行是简单化简，第四行推导的理由是第三行中的因式可如下推导

第四步

至此，第一阶段推导的结果归结到求下式的值

关键式

这个式子的值等价于

等价式

这个式子中除了△x外并没有其他变量，所以这个式子的值是一个常数（其实就是sin’(0)的值）。求得这个常数，就能得到正弦公式的导式了，我们把这个求值过程交给第二阶段来做。

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第二阶段的求解：

其实第一阶段最后的式子，是需要使用夹逼定理和一些几何特性来证明的，不可以用任何微积分的结果来证明这个式子的值。

我不重复解释夹逼定理了，直接搬来维基的答案，如下：

夹逼定理对式子求解的答案

怎么样，这份答案够详细了吧。不过啊不过，这份维基的推导中，有一行，我是无论如何都没弄明白为啥会直接列出来，就是那句 arcAD。我眼神不好，这个弧AD看起来好像是比线段AE短的，但是数学猜想才能靠直觉，这里是数学求解，这是不可以用直觉来得结果的。

那么，有没有严谨的做法来证明：当0<θ<π/2时，线段AE比弧AD长。呵呵，这就是我的答案和网上大部分答案不同的地方了，兄弟我啊，证明出来了，嘻嘻。请大家来继续看最后一阶段的证明好了。

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第三阶段的证明：

想要证明线段AE比弧AD长呢，需要先做一条辅助线，做法是过D点做一条线段与OD垂直且与线段AE交于点I，得到一条线段ID，如下图：

辅助线ID

注意，图中三角形IDE是一个直角三角形，其中∠IDE是直角，根据直角三角形特性 斜边长于直角边可得IE>ID，所以， AE = AI + IE > AI + ID。那么，证明AI + ID大于弧AD就可以了。

从直觉来说，我觉得AI + ID是大于弧AD的，但是，就像上面说的，数学求解是不能靠直觉的，那怎么办呢？有办法，看下图：

再来两根辅助线

连接IO，交弧AD于点J，然后过J做弧AD的切线交AI和ID于点K、L，于是得到上图。从这个图里容易得到一个结论： AI + ID > AK + KJ + JL + LD(在三角形KIL中，利用两点之间线段最短原理可得)。

直觉告诉我AK + KJ + JL + LD还是长于弧AD的，可我还是得继续证明才行。所以，我在四边形AOJK和四边形DOJL中重复刚才在四边形AODI中的做辅助线的做法，继续绘制辅助线，可以得到新的四个子四边形，然后再在新的子四边形中重复做辅助线的做法，可以得到新的八个子四边形，然后再在新的子四边形中重复做辅助线的做法，可以得到新的十六个子四边形……当我画到1024个子四边形的时候，我的眼睛，我的胃，我的手，我的腰，都感觉到强烈的不适，上吐下泻涕泗横流啊……

然而，我发现直觉总是成立的。每条新做的切线的连线都比上一次的辅助切线要短，而且切线连起来越来越逼近弧AD了。

随着脑海中一句“智商上线中”的弹幕闪过，我想起了一个数学家的名字——刘徽。这位数学大佬的经典之一就是发明了割圆术。

回过头来看，一遍遍画辅助线的做法不正是在割圆么？根据极限的思路，辅助线画到无穷遍的时候，切线之和自然就是弧长了啊。

于是倒推回来可证，弧长AD < AI + ID，于是，第三阶段得证。

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The end.