几何 I 命题I.1

命题 I.1

已知一条线段可以作一个等边三角形


这里先说明一点,欧氏几何中, 所有的命题借助的作图工具是尺规,即一个没有刻度的直尺和一把圆规。

这个命题的意思是给你一条线段, 你如何用这条线段来做一个等边三角形? 如果你做出了, 如何证明你做出的三角形是等边三角形。(给你5分钟,我们一起来做等边三角形吧。)

工具
给定一条线段
三角形ABC

接下来, 我们用数学的语言来证明这个命题。


设: AB为已知线段。

要求:以线段AB为边做一个等边三角形, 以A为圆心、AB为半径作圆BCD;再以B为圆心、BA为半径作圆ACE;两圆相交于C点,连接CA、CB。

因为: A点是圆CDB的圆心, 故AC等于AB (定义15)。
又, 点B是圆CAE的圆心, 故BC等于BA定义15),因CA等于AB;所以: 线段CA等于CB等于AB。

因为等于同量的量互相相等(公理1); 所以:CA等于CB。所以三条线段CA、AB、BC相等。

所以: 三角形ABC是作在线段AB上的等边三角形。

证完。


不知道真人看完的小伙伴怎么想?是不是觉得这东西傻瓜都知道,哈哈,在2500年前,走出这一步可是世界观的大改变,从感性到理性的改变。

看完这个命题的小伙伴一定觉得这就结束了, 其实不然。

本名题是两千余年来最受诟病的一个命题,批评者指出,如此简洁明了的命题, 却充满了漏洞。 (我擦, 竟然有漏洞, 我怎么没看出来!)。

为什么生成C点 ? 证明一开始貌似就围绕着C点展开, C点被预设为圆的相交点,但它的存在却没有证明。作者虽然在平行公设(第五公设)里说到了点的生成,但该条公设却于该命题无关。所以点C的存在不能保证。为什么呢 ? 因为在几何学中, 不相交的圆自然是存在的, 所以如何保证这两个圆一定相交呢?

为什么ABC是一个平面图形?在证明了三条线段相等后,就能确定ABC是平面图形? 该证明过程没有包含三条线段在同一平面的推理过程,当然我们知道任意一个三角形确实是在一个平面上的,这个后边会说到,但在这里,这是第一个命题,我们的依据只有5个公设,5个公理以及若干定义,所以这个命题的证明过程依然不够严谨(神马? 还不够严谨?)

说到这里, 本节内容全部讲完, 在以后的命题证明过程中,该命题可以直接使用。


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