几何 I 命题I.1

命题 I.1

已知一条线段可以作一个等边三角形

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这里先说明一点，欧氏几何中， 所有的命题借助的作图工具是尺规，即一个没有刻度的直尺和一把圆规。

这个命题的意思是给你一条线段， 你如何用这条线段来做一个等边三角形？ 如果你做出了， 如何证明你做出的三角形是等边三角形。（给你5分钟，我们一起来做等边三角形吧。）

工具

给定一条线段

三角形ABC

接下来， 我们用数学的语言来证明这个命题。

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设： AB为已知线段。

要求：以线段AB为边做一个等边三角形， 以A为圆心、AB为半径作圆BCD；再以B为圆心、BA为半径作圆ACE；两圆相交于C点，连接CA、CB。

因为： A点是圆CDB的圆心， 故AC等于AB (定义15)。
又， 点B是圆CAE的圆心， 故BC等于BA定义15），因CA等于AB；所以： 线段CA等于CB等于AB。

因为等于同量的量互相相等(公理1)； 所以：CA等于CB。所以三条线段CA、AB、BC相等。

所以： 三角形ABC是作在线段AB上的等边三角形。

证完。

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不知道真人看完的小伙伴怎么想？是不是觉得这东西傻瓜都知道，哈哈，在2500年前，走出这一步可是世界观的大改变，从感性到理性的改变。

看完这个命题的小伙伴一定觉得这就结束了， 其实不然。

本名题是两千余年来最受诟病的一个命题，批评者指出，如此简洁明了的命题， 却充满了漏洞。 （我擦， 竟然有漏洞， 我怎么没看出来！）。

为什么生成C点 ？ 证明一开始貌似就围绕着C点展开， C点被预设为圆的相交点，但它的存在却没有证明。作者虽然在平行公设（第五公设）里说到了点的生成，但该条公设却于该命题无关。所以点C的存在不能保证。为什么呢 ？ 因为在几何学中， 不相交的圆自然是存在的， 所以如何保证这两个圆一定相交呢？

为什么ABC是一个平面图形？在证明了三条线段相等后，就能确定ABC是平面图形？ 该证明过程没有包含三条线段在同一平面的推理过程，当然我们知道任意一个三角形确实是在一个平面上的，这个后边会说到，但在这里，这是第一个命题，我们的依据只有5个公设，5个公理以及若干定义，所以这个命题的证明过程依然不够严谨（神马？ 还不够严谨？）

说到这里， 本节内容全部讲完， 在以后的命题证明过程中，该命题可以直接使用。

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