《程序员的数学I》

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余数 周期性和分组

• 思考：奇数和偶数

奇数是被2除余1的整数
偶数是被2整除(余0)的整数
除法就像分组，根据余数来确定属于哪个组

• 理解余数就是分组

比较常见的奇偶性(parity)校验

• 思考：如果今天是星期一，那么100天以后是星期几？

7的倍数，余几就加几呗

余数的力量

• 思考：如果今天是星期一，那么

10的100次方

天以后是星期几？

1. 可以直接计算吗？即便是计算机运算，也是非常大的计算量
2. 并不需要急于求出10的100次方
   • 依次增加0，如：1, 10, 100, 1000, ..., 100,000,000,000
   • 发现规律，余数会在1、3、2、6、4、5这样的六个数中循环下去
   • 0的个数是100个(100次方)，那么100/6 = 16余4
   • 同样，余几就加几呗

思考：大数 1234567的987654321次方

的个位数是多少？

1. 既然是个位数，那么可以忽略123456，直接观察7
2. • 7^0的个位数 = 1
   • 7^1的个位数 = 7
   • 7^2的个位数 = 9
   • 7^3的个位数 = 3
   • 7^4的个位数 = 1
   • 7^5的个位数 = 7
   • 7^6的个位数 = 9
   • 7^7的个位数 = 3
3. 发现规律，周期为4的循环
4. 987654321除以4余1，所以...

• 思考: 奇偶校验（通信算法中的奇偶校验位应用)

1. 魔术师闭上眼睛，桌面上放着七颗棋子，黑白两面，任意一面朝上。
2. 魔术师的助手任意放一颗到第8个位置
3. 观众可以任意翻转一枚棋子，或者选择不动
4. 魔术师睁眼，一定可以知道是否观众翻转了棋子
   这就是奇偶校验的原理

• 思考：哥尼斯堡七桥问题
  部分图文来自wiki
  哥尼斯堡七桥问题

七桥

• 哥尼斯堡小城被河流分割成为四块陆地，人们为了连接陆地，建设了七座桥，现在你要找出走遍7座桥的方法，但是必须遵守如下条件：

• 走过的桥不能再走
• 可以多次经过同一片陆地
• 可以以任一陆地为起点
• 不需要回到起点

没错，真的很像一笔画

简化图

再简化一下，变成图

图

标识图

1. A、B、C、D我们称之为顶点(Vertex)，a、b、c、d、e、f、g我们称之为边(Edge)
2. 顺便说一下，数学家莱昂哈德欧拉将此问题作为一笔画问题解决了，这就是图论的开山鼻祖
3. 提示：考虑入口和出口
   • 顶点所关联的边数，称作该顶点的度数
   • 度数为偶数的顶点称为“偶点”，度数为奇数的顶点称为“奇点”
4. 顺着图中的边走，在经过的边的端点处打勾，并减去顶点的度数，边走边减
5. 如果该问题能够用一笔画通过的话，一定满足“所有顶点都是偶点，或者有两个奇点”
6. 哥尼斯堡七桥不能被走遍