2019-01-07

大 连 理 工 大 学

课 程 名 称： 数学分析一第2次月考 

授课院 (系)： 数学学院  考试日期：2018年12月  试卷共 6 页

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

总分

标准分

45

9

9

9

9

10

9

/

/

/

100

得  分

计算与简答题，请简要说明理由（每小题5分，共45分）。

设，求。

证明：当时，有。

判断：若，则。

求极限。

求在的展式，要求展到。

求不定积分。

证明：当时，有。

设，求高阶导数。

设，，均是的函数，求关于的微分。

（9分）求在上的极值点与极值，在上的最大和最小值。

（9分）设存在，令，。求极限。

（9分）设，问在是否有二阶导数，为什么？

（9分）设是上可导的凸函数，且。证明：若，则是的最小值点。

（10分）设在上有二阶导数，，，令，问为何值时在上连续？此时在上是否可导？

（9分）设在上有二阶导数，。证明：对任意的，有。

                    答案

一、简答题

1、求导后代数，注意求和项中只有一项非零，结果为。

2、可直接做差，利用导数的正负号得到原函数的单调性，也可化简后再证明。

3、不成立，典型例子是，，也可举其它适宜的例子。4、等价无穷小替换后再用洛必达法则，，也可变量替换后再等价无穷小替换，或直接用洛必达法则，结果为0。

5、分子分母同乘以后展开，也可直接展开，有，或者6、换元法，结果为。

7、左边减右边定义为函数，证明，再证明。参看书上例题3.4节例5。

8、注意，因此。

9、利用微分的形式不变性，结果为。

二、求导，驻点和不可导点计算出来，利用单调性可知是极小值点，无其它极值点，注意需要判别是否是极值点。再计算这些点的函数值以及，比较可知最大值为，最小值为。

三、用导数的定义或泰勒展式估计的大小。比如用泰勒展式有，对求和有，取极限可知。可参考问题3.2的第一题。

四、先求一阶导数再看二阶导数是否存在，注意零点导数须用定义，由此得到，继续用定义证明不存在。

五、首先连续有最小值。凸函数意味着导数递增，由此知道时，而时，因此由的单调性可知结论成立。

六、先由连续可得，再用定义求出注意只能用一次洛必达，不能用第二次洛必达法则（为什么）。由此得到，然后用连续的定义，注意求极限时还是不能用洛必达法则，可以用泰勒展式，有

，因此在连续。在别的点自然连续。

七、参考书上定理4.3.2的证明，要会用余项的泰勒展开做估计。