4. Median of Two Sorted Arrays

题目

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

思路

将两个有序数列合成一个有序数列的话需要O(n+m)的时间，所以考虑不合成的方法。
很自然思考两个数列的中位数与最终的中位数之间的关系。
假设数列{a_n}共有na个数且中位数为A，数列{b_n}共有nb个数且中位数为B。
那么不考虑整除的情况下，A的左右各有(na-1)/2个数，B的左右各有(nb-1)/2个数。通过比较A和B的大小，可以确定A和B之间的两组数字。一开始觉得这样就将问题问题转化为一个规模为原来一半的子问题，并且时间复杂度可以满足题意。
但是后来发现不对，因为无法保证新得到的子问题位于原问题的正中央。所以需要增加约束，希望每次取左右两边的值的时候可以尽量使子问题往中间靠。但是这样一来时间复杂度又变为O(log(n)+log(m))，即O(log(nm))，不满足题意。
在经历了漫长的挣扎之后还是决定看题解……
题解也是取两个数组中的某些数字进行比较，但是没有选择中间的数，而是选择了第k/2个数，这样来描述问题自由度更高。通过比较两个数组中的第k/2个数的大小来逐步缩小范围，从而得到整体的第k个数，最终得到中位数。

实现

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector& nums1, vector& nums2) {
        int m=nums1.size();
        int n=nums2.size();
        vector::iterator A=nums1.begin();
        vector::iterator B=nums2.begin();
        int k=m+n;
        if(k&0x01)
            return findKth(A, m, B, n, k/2+1);
        else
            return (findKth(A, m, B, n, k/2)+findKth(A, m, B, n, k/2+1))/2.0;
    }
private:
    static double findKth(const vector::iterator & A, int m,
                          const vector::iterator & B, int n, int k){
        if(m>n) return findKth(B, n, A, m, k);
        if(m==0)return B[k-1];
        if(k==1) return min(A[0], B[0]);
        
        int ia=min(m, k/2), ib=k-ia;
        if(A[ia-1]B[ib-1])
            return findKth(A, m, B+ib, n-ib, k-ib);
        else
            return A[ia-1];
    }
};

没有太多好说的，基本上就是默写题解。。。

思考

本段代码中几处地方比较巧妙：

• 假定m
• 对于m