【离散数学】图论（八）平面图以及涂色问题

正文之前

在图论中，平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。而如果一个图无论怎样都无法画在平面上，并使得不同的边互不交叠，那么这样的图不是平面图，或者称为非平面图。 ——Wikipedia

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在这篇文章中，我们介绍两个方面内容：

• 平面图
• 涂色问题（四色定理）

正文

平面图

1. 简介
2. 判断（欧拉公式）
3. 串联约减
4. 同胚
5. 库拉托夫斯基(Kuratowski)定理

1. 简介

在一个平面画出一个图，如果图的每条边都互不相交，则称这个图为平面图

在完全图的文章中，介绍了K₄，这里我们以此为例

本来以为K₄不会是平面图，会有两条边相交，但是我们做个变形，将一条边画出去，就将K₄画成了平面图

2. 判断

在K₄内，图被分为4个面(face of region)：A, B, C, D

K₄内共有：

• 4个面(f)
• 4个结点(v)
• 6条边(e)

为了判断一个图是否为平面图，我们使用

欧拉公式：f = e - v + 2 （面数 = 边数 - 结点数 + 2）

3. 串联约减

在一个图中，有一个度为2的结点和两条边(v, v₁)和(v, v₂)，而且v₁ ≠ v₂，则称(v, v₁)和(v, v₂)是串联的

串联约减就是将结点v从图中删去，用(v₁,v₂)代替(v, v₁)和(v, v₂)

上图就采用串联约减删去结点e，边(a, e)和(e, c)被替换为(a, c)

4. 同胚

如果图G₁可以通过串联约减（一步或多步）变为与G₂同构的图，则称G₁和G₂是同胚的，反之也是

5. 库拉托夫斯基定理

一个图G是平面图当且仅当G中不包含与K₅或者K_3,3同胚的子图

可用库拉托夫斯基定理判断图G是不是平面图，举个书本中的例子

移除图中的边(a, b),(e, f),(g, h)，经过串联约减之后，就将图变为了K_3,3，所以不是平面图

涂色问题

1. 简介
2. 四色定理

1. 简介

给出一个平面图，给图的每个面涂上颜色，使得每两个相邻的面的颜色不同，一共需要多少种颜色？

这张图用了四种颜色涂了五个面

2. 四色定理

四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样                  ——Wikipedia

用一个复杂一点的图试试

关于平面图的介绍就到这里了，谢谢大家！