本科数学一月特训班视频课程介绍

1.【课程名称】

本科数学一月特训班

2.【课程简介】

特训班涵盖了抽象代数、点集拓扑、常微分方程、偏微分方程、实变函数、泛函分析、微分几何等本科数学重点难点，北大数学博士和你一起在一个月内搭建本科数学学习框架，让之后的学习事半功倍。

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3.【老师简介】

徐诗，北大数学系博士，几何分析方向，熟悉分析的工具与方法

4.【适宜人群】

数学系考研学生

想提高巩固对数学理解的同学

对数学要求较高的理工类专业学生

5.【学习效果】

基本掌握本科数学基本知识点，对整个本科数学体系有比较好的框架感，能顺利地做本科数学中各类常见习题，也会有足够的背景听基础研究生的课程。

6.【知识点或涵盖课程】

涵盖课程：

高等代数、数学分析、点集拓扑、常微分方程、偏微分方程、实变函数、泛函分析等

知识点：

集合与映射、群论、环与理想、域的扩张、拓扑空间与连续性、拓扑性质、商空间、线性常微分方程、Picard存在唯一定理、解的延展、定性理论、集合基数、测度理论、可测函数、Lebesgue积分理论、L^p空间、距离线性空间、Hilbert空间、有界线性算子理论、算子的谱、位势方程、热传导方程、波动方程、广义函数、曲线论、曲面的基本形式、法曲率、曲面论基本定理、测地线

7.【参考教材】

《抽象代数》 武汉大学出版社 牛凤文

《微分几何初步》 北京大学出版社 陈维桓

《基础拓扑学讲义》 北京大学出版社 尤承业

《常微分方程教程》 高等教育出版社 丁同仁

《偏微分方程》 北京大学出版社 周蜀林

《实变函数论》 北京大学出版社 周民强

《泛函分析讲义》 北京大学出版社 张恭庆

8.【课程大纲】

第一讲抽象代数—集合、映射和关系

第二讲抽象代数—群与子群

第三讲抽象代数—群的同态

第四讲抽象代数—环与理想

第五讲抽象代数—因子分解理论

第六讲抽象代数—域论简介

第七讲点集拓扑—拓扑空间和连续映射（上）

第八讲点集拓扑—拓扑空间和连续映射（下）

第九讲点集拓扑—几个重要的拓扑性质（上）

第十讲点集拓扑—几个重要的拓扑性质（下）

第十一讲点集拓扑—商空间和闭曲面

第十二讲点集拓扑—练习题讲解

第十三讲常微分方程—基本概念

第十四讲常微分方程—初等积分法

第十五讲常微分方程—存在与唯一性定理

第十六讲常微分方程—奇解

第十七讲常微分方程—高阶微分方程

第十八讲常微分方程—线性微分方程组

第十九讲常微分方程—定性理论

第二十讲常微分方程—一阶偏微分方程

第二十一讲偏微分方程—偏微分方程基本概念

第二十二讲偏微分方程—位势理论

第二十三讲偏微分方程—热传导方程

第二十四讲偏微分方程—波动方程

第二十五讲实变函数—集合与点集

第二十六讲小测验习题讲解

第二十七讲实变函数—n维空间中的点集

第二十八讲实变函数—测度理论

第二十九讲实变函数—可测函数

第三十讲实变函数—Lebesgue积分

第三十一讲实变函数—微分和不定积分

第三十二讲实变函数—L^p空间

第三十三讲泛函分析—距离线性空间（上）

第三十四讲实变函数题目讲解

第三十五讲泛函分析—距离线性空间（下）

第三十六讲泛函分析—Hilbert空间

第三十七讲泛函分析—线性算子（上）

第三十八讲泛函分析—线性算子（下）

第三十九讲泛函分析—有界线性算子谱论

第四十讲微分几何—预备知识

第四十一讲微分几何—曲线论

第四十二讲微分几何—曲面的第一基本形式

第四十三讲微分几何—曲面的第二基本形式（上）

第四十四讲微分几何—曲面的第二基本形式（下）

第四十五讲微分几何—曲面论基本定理（上）

第四十六讲微分几何—曲面论基本定理（下）

第四十七讲微分几何和泛函分析题目讲解

9.【时长】

140h