[算法] KMP算法中如何计算next数组

1. 字符串匹配问题

假如我们有一个模式字符串ABCDABD和一个目标字符串BBC ABCDAB ABCDABCDABDE，
我们怎样找到模式串在目标串中的匹配位置呢？

最容易想到的办法是逐个比对：源码

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2. KMP算法背景

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，
由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现，因此人们称它为KMP算法。
KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，
尽量减少模式串与目标串的重复匹配次数以达到快速匹配的目的。
具体实现是利用一个事先计算好的next数组，
其中包含了模式串的前缀与后缀特征。

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3. 往后跳多远

我们观察一下，看看逐个比对会包含哪些重复计算，然后想办法消除它。
考虑某个中间步骤，

BBC ABCDAB ABCDABCDABDE
    ABCDABD

模式串ABCDABD的子串ABCDAB都比对成功了，可是，在D处失败了。
于是下一步，我们会向后移动一个字符，继续比对，

BBC ABCDAB ABCDABCDABDE
     ABCDABD

可是，我们可以移动的更远一些吗？
能不能把目标串中的ABCDAB全都跳过？

BBC ABCDAB ABCDABCDABDE
          ABCDABD

好像不行，跳的太远了，我们得从这里开始，

BBC ABCDAB ABCDABCDABDE
        ABCDABD

因为ABCDAB前缀和后缀包含重叠的部分。

我们称 AB为 ABCDAB的 前缀和后缀的最长公共序列。

跳多远=ABCDAB长度 - 前缀和后缀的最长公共序列长度

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4. next数组

前缀和后缀的最长公共序列，只和模式串有关，是模式串本身的特征。
所以，我们就可以事先算好模式串前n个字符的前缀和后缀的最长公共序列的长度，
把它们存起来，称为next数组。

对于模式串agctagcagctagct来说，
它的next数组为[0,0,0,0,1,2,3,1,2,3,4,5,6,7,4]，
即，模式串的前i+1个字符的前缀和后缀的最长公共序列的长度为next[i]。

例如：agctagcagctagct的前6个字符agctag的前缀和后缀的最长公共序列的长度为next[5]=2。

怎样计算这个数组呢？
我们可以利用next[0]~next[i]来计算next[i+1]。
假设pattern='agctagcagctagct'

a：next[0]=0，
ag：pattern[1]=g，pattern[0]=a，不相等，所以next[1]=0，
agc：pattern[2]=c，pattern[0]=a，不相等，所以next[2]=0，
agct：pattern[3]=t，pattern[0]=a，不相等，所以next[3]=0，
agcta：pattern[4]=a，pattern[0]=a，相等，所以next[4]=1，
agctag：pattern[5]=g，pattern[1]=g，相等，所以next[5]=2，
agctagc：pattern[6]=c，pattern[2]=c，相等，所以next[6]=3，
……
agctagcagctagc：pattern[13]=c，pattern[6]=c，相等，所以next[13]=7

5. 次长公共序列

难点来了。
agctagcagctagct：pattern[14]=t，pattern[7]=a，不相等。
怎么办？于是next[14]=0吗？

很显然不行，因为agct是前缀和后缀的最长共同序列，next[14]=4。

寻找agct基于以下考虑，
如图，橙色的A表示已经确定的最长公共序列，绿色的T将要与开头的A后面的元素进行比较。
如果比对失败，我们需要寻找次长公共序列B，然后T再与开头的B后面元素进行比对。

我们看到，三幅图中，橙色块都是相等的，
如果存在次长公共序列，第二幅图表明，橙色块必然同时以B开头且以B结尾。
即，如第三幅图所示，
这表明，T位置的次长公共序列长度，就是橙色块的最长公共序列长度。

因此，计算agctagcagctagc的次长公共序列，就要计算B=agctagc的最长公共序列，
而这个已经计算过了，next[6]=3，得到agc。
然后与agc后面的元素t进行比对，相等，next[14]=4。

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参考：
Github：kmp源码
视频：求kmp的next数组
从头到尾彻底理解KMP（2014年8月22日版）
字符串匹配的KMP算法- 阮一峰的网络日志