浅谈欧拉公式

要说数学最漂亮的公式我首选欧拉公式！

       首先我们浅谈数学这门科学艺术，很多时候，人们认为数学公式只是为了记忆来应付考试的，也可以说人们把数学当成一种计算，可是数学并不是单纯的一门计算学科，它是一种推到原理逻辑的一门艺术学科。有时候它可以用在我们的时候，比如某些事情你说她好可是为什么它好，这是你看给出推理过程，或者给出反证假设它不好会怎么怎么怎么样。数学也可以说是一种思维，一门逻辑。学数学并不是说什么以后用不到，虽然它的确可能用不到比如三角函数平时谁会去专门去量角度和长度然后算？答案是肯定没什么人的，但是如果是这样理解的人只能说思想太顽固、或者说思想不灵活（纯属胡扯，没什么依据，勿喷）他们没有看到数学的本质，可能我们平常买菜只需要知道几斤几两然后单价多少就可以了，但是背后的思想我们有没有仔细思考过，比如有了数字自然可以组成长度，有了长度就有了二维空间，在二维空间里面代表各种长度的直线组成了各种形状，取其员工三角形，使其一角为直角，那么直角三角形就出来了，两边闭上斜边三角函数定义就出来了（cos、sin）想到三角函数必然联系到反三角函数、而反三角函数又可以想到无穷级数求和、继而自然底数e、π、包括虚数i都可以联系出来了。而我们买菜的时候是不是也可以想想看为什么菜是这个价钱，好了那么个市场和收成有关，而这些又和天气、自然、国际事迹有关。。等等等等一系列问题就出来了，我们就可以计算出在哪个时间段什么菜价格会上涨什么菜价格会下降等等一系列问题。不过计算结果误差一定会非常非常大，因为变量大多太不规则我们无法一一排除。最近看了太多数学公式，虽然不是很理解很懵，但是却被其中的美给震撼到了，在所有的数学公式中，欧拉公式可称最中之最，欧拉极其的展现了他的智慧，他将我们看似没有任何关系的自然底数、圆周率、虚数统一在一个公式上面，深刻反映数学是一门联系紧密的学科。

欧拉公式

首先初次看到这个公式，内心的想法是吃惊！因为在我们一般所学范围，e的任何次方都为正数，而这里可以看出含e的项结果为负一，可以说是反常态的，不过刚才那句话有错误，是e的任何实数次方为正数。在这里我们可以看出e的幂中有个虚数单位i。那么之前的疑惑就不算疑惑了，好了疑惑解决了。但是大家还是懵这怎么就成立了？在阐述证明过程之前，我们得先把上面所有的数学符号弄清楚，加号、等于、1、0这些大家都懂吧不解释！这里需要先理解这个自然底数e，相信学过微积分的同学都知道它等于一个极限公式（学过无穷级数的也知道e等于无穷多个数相加）（注：这里有的同学可能不懂，细讲可能不实际，不过推荐多看看有关自然底数的论文）

来自百度百科

来自百度百科

来自百度百科

e介绍完了，该介绍一下π了，是一个常数（约等于3.141592654）也就是圆周率。圆周率（π）是圆的周长与直径的比值。在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。我们通常接触的π或者说我们就是淡淡把π固定在它的定义的形式，而一般不会想到它会和其他数产生联系。但是随着数学以及其他诸多科的发展，π却在这几门呢科学联系之中莫名其妙的建立起了桥梁。学1965年，英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）出版了一本数学专著，其中他推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。2015年，罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式。

来自百度百科

来自百度百科

这里说一下，很多公式都特别漂亮，不过都很深奥无法一一解答，仅仅从百度百科摘下来供观赏，不过下面这个高斯积分很重要，我们学无穷级数要用到它、在概率论和数理统计也需要用到它、在伽马函数里面也需要用到它，大家需要重点掌握这个积分，从原理去深推。不过不知道推导此公式也没关系，看到这个函数我们可以会很惊讶、很开心、很兴奋的发现自然底数e和圆周率π在积分中居然有联系！！！

来自百度百科

来自百度百科

来自百度百科

来自百度百科

最后一个其实也是最简单的一个，那就是虚数单位i。在了解虚数之前我们先要知道什么事复数，在以前我们都知道一切数都可以归为实数，把最大集合称之为实数集R。可是科学家发现当X的平方对于负一是无实数解，这个时候就引入了虚数概念。定义i的平方为负一，即i等于根号负一。这样人类将实数集附加上了虚数集，从而构成了二维数集空间。

来自知乎

好了i、π、e的定义和区别大家都知道了，那么公式也可以开始推导了！

来自百度文库

首先欧拉是先得出这么个公式的。那么这个公式在怎么推出来的呢，我们都知道e的X次方和sinx、cosx都可以对其泰勒展开，展开得：

泰勒展开

那么好了将x=iz带进去，因为i的平方对于-1，所以i的偶数次方都可以变成负一，而i的奇次方（也就是含i的项）则以+1、-1依次和，最终我们会发现刚刚好等于cosx的泰勒展开式和加上isinx的泰勒展开式！！！

来自百度文库

不过这里我们得回味思考一下，为什么欧拉会想到如此有水平的公式，只是把虚数i引入就可以将自然底数e和三角函数和虚数i联系在一起？其中的桥梁就是泰勒展开，我们发现他们的展开项是很有联系很相似，但是由于符号无法统一，所以cosx、sinx和e的x次方无法得到一个恒等式，那么这个时候虚数i刚刚好满足这个条件，i的平方等于负一使原本的符号发生改变，所以欧拉就是在这一点受到了启发，将i引入！！！

好了最后将z取π，我们便得到下面这个经典公式！

其实还有很多解法，这里不一一解释了，最后祝大家做个好梦晚安！！！