母函数（Generating function）详解 — TankyWoo

（一）普通母函数：##

http://www.wutianqi.com/?p=596

#include 
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001; 
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];   
int main()
{   //int n,i,j,k;
    int nNum;   // 
    int i, j, k;
 
    while(cin >> nNum)
    {
        for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
        {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
        {
 
            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
                for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
                {
                    c2[j+k] += c1[j];
                }
            for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
            {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        cout << c1[nNum] << endl;
    }
    return 0;
}

① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x^2+..xn)初始化，把质量从0到n的所有系数都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
③、j 从0到n遍历，这里j就是(前面i個表达式累乘的表达式)里第j个变量，(这里感谢一下seagg朋友给我指出的错误，大家可以看下留言处的讨论)。如(1+x)(1+x^2)(1+x3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为（1+x+x^2+x3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。
④ 第j个指数的幂可以增加的数为k，k每次增i。( 因为第i个表达式的增量是i:(1+x^i+x2i+...+x^ni+...) )。
⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的。

https://vjudge.net/problem/HDU-1028

#include 
using namespace std;
const int maxn= 125;
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存每一次的情况
int c1[maxn], c2[maxn];
int main()
{   int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            c1[i]=1;
            c2[i]=0;
        }
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=n;j++)
            {
                for(int k=0;k+j<=n;k+=i)
                {
                    c2[j+k]+=c1[j];
                }
            }
            for(int j=0;j<=n;j++)
            {
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        printf("%d\n",c1[n]);
    }
    return 0;
}

（二）指数母函数##

指数型母函数主要是关于排列组合方面的问题。
分别看两个比较典型的问题对比：
普通母函数问题：有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种不同的组合方案。
指数型母函数问题：假设有8个元素，其中a1重复3次，a2重复2次，a3重复3次。从中取r个元素，求其排列数。
下面是指数型母函数的定义：

zhishumuhanshu2

zhishumuhanshu3

对于上面的问题“假设有8个元素，其中a1重复3次，a2重复2次，a3重复3次。从中取r个组合，求其组合数。”：
（感谢 3Dnn 同学指出，下图的 28/3! 应该改为 26/3!）

zhishumuhanshu4

https://vjudge.net/problem/HDU-1521
题意：有n种物品，并且知道每种物品的数量。要求从中选出m件物品的排列数。例如有两种物品A,B，并且数量都是1，从中选2件物品，则排列有"AB","BA"两种。

#include 
#include
using namespace std;
const int maxn=11;
double c1[maxn],c2[maxn];
int factor[maxn];
int num[maxn];
int main()
{
    factor[0]=1;
    for(int i=1;i<=10;i++)
        factor[i]=factor[i-1]*i;
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",num+i);
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        memset(c2,0,sizeof(c2));
        for(int i=0;i<=num[1];i++)
        {
            c1[i]=1.0/factor[i];
        }
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=m;j++)
            {
                for(int k=0;j+k<=m&&k<=num[i];k++)
                {
                    c2[j+k]+=c1[j]/factor[k];
                }
            }
            for(int j=0;j<=m;j++)
            {
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        printf("%.f\n",c1[m]*factor[m]);
    }
    return 0;
}