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概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数

在人类行为、社交网络等社会学数据分析中，厚尾分布频繁出现。在这篇文章中，我将梳理这些常见概念的关系。

厚尾分布是什么？

厚尾分布指“尾部”比指数分布“厚重“的分布

概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数_第1张图片
尾部厚重

Example

帕雷托Pareto分布，也称为幂率power-law分布, 具有渐近尺度不变性，对于性质分析很有帮助
对数正态 LogNormal
Weibull
Zipf
Cauchy
Student’s t
Frechet


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power-low distribution

厚尾分布的子类目

Regularly varying
次指数分布Subexponential，服从浩劫原则，对于随机游走等问题的研究很有帮助


Subexponential Distributions

长尾分布Long-tailed，服从等待时间爆炸原则，对于极端情形研究很有帮助


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Long-tailed Distributions

Fat-tailed

下面这张图说明厚尾分布的各种类型

概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数_第4张图片
Types of heavy-tailed

厚尾分布的性质

厚尾分布具有许多有趣的特性

  • 帕雷托准则Pareto principle : 20%的人拥有社会上80%的财富
  • 方差无限, 甚至均值无限
  • 重大事件相对发生频繁

它们的3个基本性质

  • 尺度不变性Scale Invariance


    尺度不变性

    定理可证明，一个分布具有尺度不变性当且仅当这个分布是帕累托分布


    渐近尺度不变性

    定理可证明，一个分布具有渐近尺度不变性当且仅当这个分布是Regular varying分布
    概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数_第5张图片
    regularly varying

  • 浩劫原则Catastrophe principle
    通俗意义上来说，浩劫原则指的是仅需要极少甚至一个意外就可以带来巨大的灾难。浩劫原则是厚尾分布的特性之一。相对而言，轻尾分布则服从阴谋原则，可理解为需要多数样本聚合才能产生一定的效果。


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    浩劫原则和阴谋原则

    一个分布服从浩劫原则当且仅当这个分布是一个次指数分布

  • 等待时间爆炸residual life blows up
    通俗理解，如果你没有很快收到邮件答复，那么你可能永远收不到了~假定你已经等待了x时间，那么剩余等待时间的分布是


    residual life distribution

    如果是一个指数分布


    residual life distribution of exponential
    它仍然是指数分布，也就是说白等了x时间。如果是一个帕雷托分布，那就很可怕了，等待时间会随着已等时间x上升！
    概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数_第7张图片
    residual life distribution of pareto
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mean residual life & hazard rate
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DHR IMRL

什么时候会出现厚尾分布？

考虑独立同分布的随机变量Xi，它们的和如何变化？

方差有限时，随机变量的和服从0均值的正态分布
概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数_第10张图片
CLT

方差无限时，随机变量的和服从厚尾分布
概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数_第11张图片
GCLT

在人类生活中，厚尾分布比正态分布更经常出现

  • 累加性过程 Additive Processes,如上述方差无限时

  • 乘积性过程 Multiplicative Proces
    概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数_第12张图片
    example of multiplicative process

    在乘积性中心极限法则的作用下，对数正态分布出现
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    log normal

    概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数_第14张图片
    MCLT
    如果在乘积性过程中加入噪声或者是较低的屏障，幂律分布出现~
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    power law

  • 极值过程 Extremal Process
    极值过程也会导致厚尾分布的出现，l


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    extremal process

厚尾分布的识别

方案1在双对数坐标系下，幂律分布呈线性

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识别不同分布

注意使用rank plot(ccdf)而不是简单的frequency plot(pdf)
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ccdf VS pdf

概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数_第19张图片
指数分布还是幂律分布？

通过双对数坐标系下的线性判断幂律分布也有一定风险，因为对数正态、Weibull分布也可能是线性的，而且尾部通常含有更多噪声，不符合linear regression全局噪声恒定的假设

方案2使用MLE估计alpha

概率分布细谈：厚尾、长尾、幂律、指数_第20张图片
MLE &WLS

如果仅有尾部符合幂律分布，如何识别？Hill Estimator ! 这里就不多做介绍啦

Reference

http://users.cms.caltech.edu/~adamw/papers/2013-SIGMETRICS-heavytails.pdf

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