如何理解“→”【離散數學、符號邏輯】

在離散數學中，稱為p與q的蘊含（imply）式，表示p是q的充分條件，q是p的必要條件。
的真值表如下：

p	q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

表中，以及是很好理解的——如果推理的前提為真，顯然推理本身是否正確取決於推理結果的正誤。
难以理解的是这两个式子，与. 这两个式子相当于说“如果前提是错误的，那么不管结论正确与否，都认为推理正确”。相當反直覺的說法啊，為什麼数学家這樣規定呢？
筆者百思不得其解。在查閱許多資料后，筆者終有所悟，現記錄於此。

“”不表示因果關係

“”稱作與的蘊含式，這樣的名詞和符號很容易讓人聯想到因果。但在數學中，與之間并不一定存在因果關係。例如這樣的語句也是合法的命題，儘管前件和后件之間沒有什麼因果關係。當人們試圖將蘊含式與現實世界的因果關係聯繫起來的時候，就容易產生困惑。比如，命題A=

再令x等於3。在數學中，命題A的真值為1，因為蘊含式的前件為假。但放在常識中來看，命題A是絕對不正確的——x既然比2小，怎麼會比2大呢？
為了理解“”符號，必須放下“”=“因果”的執念。

為什麼這樣定義“”？

數學家也是人，他們在定義“”的時候，也希望它符合自然理念。那麼，為什麼他們要作如此奇怪的規定呢？
不妨反過來想，如果不這樣規定的話會發生什麼？

1. 如果
   如果，這就不符合“逆反命題與原命題等價”的“常識”，與矛盾。
2. 如果
   假設真值表中，而其它項不變。於是修改過的真值表如下。

p	q
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

根據真值表，有：

如果用自然語言表達上面這個公式，相當於說“如果推理和結果都是正確的，則前提也是正確的”，顯然不對。比方說，穀粒能發芽（真命題）。但一顆綠芽，未必是穀粒生的，它還可能是豆芽。

分析以上假設，讀者已經知道的不合理。但有的讀者還會說，那也不合理呀，為什麼不能規定呢？
確實，如果規定的話，似乎就更符合常理了。但是，在二值的邏輯世界里，第三個值是不存在的。或者說，有兩個值就足夠了。

真與假

據說，在設計符號邏輯的時候，數學家們遵循“無罪推定（innocent until proven guilty）”的哲學原則。即是說，如果沒有證據證明命題是假的，就仍為該命題是真的。
這種哲學思想雖很奇妙，卻有些遺憾、不完美。
假仍然是假，真卻未必是真！
所謂“真”，僅僅是“不矛盾”而已。
在歐氏幾何中，歐幾里得根據若干簡單的公理和公設，推理出許多漂亮的實用的定理。然而，這些定理“不是真的”，它們只是“不與公理\公設矛盾”罷了；黎曼幾何改變了歐氏幾何的幾條公理，得出一個嶄新理論。黎曼幾何也“不是真的”，僅僅是“不矛盾”罷了；堅定的無神論者與虔誠的有神論者互相不能說服，並非是其中一人愚蠢，而是因為二者都具備一套完備的無矛盾的世界觀。

扯遠了。再看先前的例子，和是矛盾的嗎？在特定的前提下，我們可以說二者是不矛盾的。例如，給定前提，則在這個前提下，3又小於2，又大於2。這就是“為真”的意義。

參考資料

• Why, in Logic, Does “False” Imply Anything?