（3.11）James Stewart Calculus 5th Edition：Linear Approximations and Differentials

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Linear Approximations and Differentials 线性近似和微分

当x 和 a很近的时候，
我们由这条线的切线方程，可以得到：

对应的 y，也就是 f（x）大致为：

这个时候，对应的 f（x）的近似值，我们叫做
linear approximation 线性近似 或者 tangent line approximation 切线近似

这个图像为切线的线性函数

我们叫做， linearization of f at a。 也就是 f在a点的线性化

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Applications to Physics 物理应用

我们知道sinx 在 x趋于0的时候，

这个时候，我们可以用对应的线性近似值去代替

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Differentials 微分

线性近似的背后，是微分的表示。
因为 dx是自变量， 可以是任意实数。
对应 y的微分 dy，可以表示为：

由于对应的 Δ还是有值的， 我们对比一下图像
看一下区别

我们由图可以知道
QS 为 Δy

而切线为PR，所以
RS 为 dy

例子

例子4

f（x） = x^3 + x^2 - 2x +1
对比一下 Δy 和 dy
（a） 从 2 到 2.05
（b） 从 2 到 2.01

解答：
（a）
我们可以知道

所以，两个值相减后， 可以得到 Δy

对应的 dy：

当x=2， dx = 0.05的时候

Paste_Image.png

**所以，一个是 0.717625，一个是 0.7 **

（b）

所以，两个值相减后， 可以得到 Δy

对应的dy
当x=2， dx = 0.01的时候

**所以，一个是 0.140701，一个是 0.14 **

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所以，我们可以发现，
当 dx越小的时候， dy 和 Δy的值 越接近

the linear approximation 线性近似

可以写成

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本节总结

本节 主要理解
横向 dx 和 Δx ，其实是一样的
对于 微分值dy 和 差值Δy， 还是有所区别
我们在对应的 dx 很小的时候， dy 和 Δy 可以近似相等
（dy 和导数切线有关， Δy是真实差值）