Generative Model（VAE1）

Unspervised learning主要任务目标是发掘数据潜在有价值的结构，主要分为clustering，dimentionality reduction，feature learning， density estimation
Generative Model主要任务是给定一个数据集P(data)，通过模型P(model)学习样本的分布，可以通过模型生成近似原样本分布的数据。主要属于density estimation范畴。
作用主要：

• 根据需求近似生成真实数据，想象空间非常大，这是一个富裕想象力与创造性的，比如生成马赛克，美颜，生成画作等，当然能生成的也是可以去掉的。
• 生成时间序列数据，可以用于强化学习
• 也可以用于feature learning等

Generative Model

按方法分类generative model，主要分为explicity and implicity density，这次主要介绍explicity的方法。
从定义上来说，explicity density就是我直接通过定义P(model)，然后通过来最大化data likelihood求解P(model)。implicity density就是不直接定义P(model),但是模型可以sample出data。
然后根据定义的density确定的likelihood是否能直接给出求解方法，如果可以那就直接解呗，说明你定义了一个tractable density。
比如Fully visible belief nets的PixelRNN & CNN，按照每个像素定义每一张图的likelihood，用链式法则分解likelihood为给定先前的pixels当前pixel的条件概率乘积

Full visible belief network

看图中条件概率是很复杂，自然就可以想到用神经网络去做transformation，神经网络是很好的复杂函数的拟合器。重点是如果做这个conditional prob呢？

• generate image pixels starting from corner
• dependency on previous pixels modeled using an RNN(LSTM)
  RNN很轻松就可以做成依赖关系，毕竟sequential model.
  PixelRNN效果很好，但是缺点是比较慢，毕竟pixel by pixel sequential generation。
  那么就出现了PixelCNN，和PixelRNN很像，只是用了CNN来做dependency on previous pixels，根据已经产生的局部块图(content region)来生成pixel。
  
  

  PixelCNN

PixelCNN训练过程较快，但是生成图片一样的是sequential generation比较慢。
不得不说大神不论在算法还是应用都是很厉害的！这里只简单介绍，其实这个有很多精彩的地方！毕竟这里主要介绍VAE。

VAE

这里我决定给像我这样的小白讲讲variational autoencoder
先讲一下variational inference，为什么会有这个东西，预备知识如下

• information theory
  information，entropy，differential entropy
• KL Divergence
  KL Divergence和lnp(x)关系
• Graphical Model
• Variational Inf

1. information(I)是来衡量一个随机事件的信息量I = -logP(x),定义上直观理解，一个事件x发生的概率越大，其信息量越小，比如你本来就知道太阳明天会升起，那么我告诉你这个事件，其实并没有带来任何信息
2. entropy/avg information
   根据概率平均information，代表随机变量的平均信息量H = sum(P(x)*-logP(x))
3. differential entropy
   entropy适用于离散变量，连续变量的entropy叫differential entropy，求和换为积分就ok了
4. KL Divergence/ Relative Entropy
   它是通过entropy来衡量2个分布的距离，KL(p||q)代表根据p概率来衡量q和p的entropy差距，很自然就写出entropy(q) - entropy(p) = sum(-q(x)log(q(x)) - sum(-p(x)log(p(x)),刚提到是按照p的概率，所以写成 KL(p||q) = sum(-p(x)log(q(x)) - sum(-p(x)log(p(x)),按p的概率求和就ok了，整理写成KL(p||q) = sum(p(x)log[p(x)/q(x)])
   KL Divergence两个性质：1.大于等于零 2. 不是对称的，不具备距离度量公理，但是其实更合理一点，在生活中！

5. KL Divergence 和 lnP(x)
   

   举个例子，假设现在有个分布P(x|z)，我们不知道这个，所以想用一个分布q(z)来估计它,我们当然也不知q(z)是什么，先来估计吧。那很自然就可以想到用KL Divergence来衡量估计得好坏，KL Divergence刚提到是用来衡量两个分布差异的，越小说明分布差异越小(不得不写公式了）
   
   这里得到了lower bound L，那为什么要用lower bound求解呢，那肯定是lower bound好求么。。一般情况下直接求KL是解不出来的，因为有个条件概率，我们比较好得到联合概率，下面具体说说
6. Graphical Model
   简答介绍一点，告诉你为什么条件概率比较难求，简单画个图吧
   
   箭头代表依赖关系,给你这个图可以很容易写出联合概率分布，但是条件概率分母有积分，通常情况下是求不出来。
   那怎么办呢？得到联合概率是否可以得到条件概率呢，不用计算积分呢？
   Problem：不积分通过联合概率来求条件概率
   Yes！不行还说什么，variational inference登场了！variational inference不是唯一的方法解决这个问题，主要还有

• MCMC：Metropolis hasting、Gibbs sampling
  通过采样估计，更精确，计算时间较长
• Variational Inference
  deterministic solution，精度较低，计算时间少
• Laplace Approximation
  deterministic，精度很低，计算很快
  这里重新回顾一下问题，我们想要估计p(z|x), 需要计算p(x),因为p(z|x)=p(x,z)/p(x)
  ,这里p(x)需要通过计算积分，通常是计算不出来的，所以我们想通过一个分布q(z)来近似计算p(z|x)。然后我们利用KL Divergence来使得q(z)逼近p(z|x),最后我们得到了个公式KL[q(z)||p(z|x)]-KL[q(z)||p(z,x)]=logp(x),因为x是给定的，等式右边不变，我们可以改变的只有q(z)，目标为让第一项变小，因为计算不了条件概率，最小化KL[q(z)||p(z|x)]等价于最大化-KL[q(z)||p(z,x)]，也就是我们的lower bound，这里没有条件概率！
  结论：为了找到p(z|x),variational inference通过找一个q(z)来最大化lower bound L
  到此终于说清楚了为什么要用variational inference，以及他是怎么做的！但是，找到这个q(z)，仍然是一个难题，variational inference的作者好像也没有很好的路子。。。。

7. Variational Inference
   

   作者提出了一个可以简化lower bound的方法，这里不得不写点公式了
   

   1
   

   2
   

   3

   没想到写了这么多，还没开始VAE，那就下次吧，上面的公式只是variational inference的求解过程，其实不重要，因为VAE，有自己的技巧。。。。