编译原理-确定有穷自动机（DFA）化简（最小化）

预备

• 最简化的DFA：这个DFA没有多余状态、也没有两个相互等价的状态。一个DFA可以通过消除无用状态、合并等价状态而转换成一个与之等价的最小状态的有穷自动机。
• 无用状态：从自动机开始状态出发，任何输入串也发到达的那个状态，或者这个状态没有通路可达终态。
• 等价转态：两个状态，识别相同的串，结果都同为正确或错误，这两个状态就是等价的。
• 区别状态：不是等价状态。

化简DFA

• 分割法：把一个DFA（不含多余状态）的状态分割成一些不相交的子集，并且任意两个子集之间的状态都是可区别状态，同一子集内部的状态都是等价状态。

• 步骤(按分割法)

  • I0 = 非状态元素构成的集合，I1 = 终态元素构成的集合
  • 经过多次划分后，要保证，任意一个Ik中的元素通过move(Ik,某个字符)的结果都同属于一个Iz，这时候划分完成。否则把状态不同的单独划分出去。
  • 重复上一步，直至没有新的I子集增加。
  • 从子集中任选一个代替整体，画出最简DFA。

例子

• 题目：将下图DFA M最小化

微信公众号：JavaWeb架构师

• 分割成I0，I1

-----------------I0、I1分割-------------------
I0 = {1,2,3,4} ; 非终态
I1 = {5,6,7} ; 终态

• 检验I0中元素的等价性，不等价就分割

move(1,a) = 6 ∈I1
move(1,b) = 3 ∈I0

move(2,a) = 7 ∈I1
move(2,b) = 3 ∈I0

move(3,a) = 1 ∈I0
move(3,b) = 5 ∈I1

move(4,a) = 4 ∈I0
move(4,b) = 6 ∈I1

可以发现，{1,2}是等价的,{3,4}是等价的
所以现在分割成了：I2 = {1,2}, I1 = {5,6,7}, I3 = {3,4}

• 检测I2中元素的等价性，不等价就分割

move(1,a) = 6 ∈I1
move(1,b) = 3 ∈I3

move(2,a) = 7 ∈I1
move(2,b) = 3 ∈I3

可以发现，是等价的，不用分割

• 检测I3中元素的等价性，不等价就分割

move(3,a) = 1 ∈I2
move(3,b) = 5 ∈I1

move(4,a) = 4 ∈I3
move(4,b) = 6 ∈I1
可以发现，不是等价的，分割成{3},{4}
所以现在分割成了：I2 = {1,2}, I1 = {5,6,7}, I4 = {3}, I5 = {4}

• 检测I1中元素的等价性，不等价就分割

move(5,a)  = 7 ∈ I1
move(5,b)  = 3 ∈ I4

move(6,a)  = 4 ∈ I5
move(6,b)  = 1 ∈ I2

move(7,a)  = 4 ∈ I5
move(7,b)  = 2 ∈ I2

可以发现，不是等价的，分割成{6,7}, {5}
所以现在分割成了：I2 = {1,2}, I4 = {3}, I5 = {4}, I6 = {5},I7 = {6,7} 

• 检测后发现，不可再分割，所以最终分割结果就是：I2 = {1,2}, I4 = {3}, I5 = {4}, I6 = {5},I7 = {6,7}

• 画转态转换图：从集合中选取一个代表就可以

  
  
  

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