用泊松分布打新股

纳尼，神马是泊松分布？

如果你提了这个问题，还请重修概率论吧。

Poisson分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

说到泊松分布，先慢点展开，因为我不得不提到二项分布。

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神马又是二项分布？

如果你提了这个问题，还是那句话，请重修概率论吧。

二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment）。给一个概率公式：

二项分布的概率公式，令单次事件发生的概率是p,则单次不发生的概率q=1-p，n为独立重复试验次数，k为发生p事件的次数，很显然n-k即是不发生p事件的次数，P（X=k）即为n次重复试验中发生了k次的概率

通俗的解释是，比如说打新股，每次中签率为20%（哇，太高了吧），那么我打了10次，恰好中了3次的概率为：

P(X=3) = C(10,3)*(0.2)^3*(0.8)^7 ≈ 20.13%

看起来不错哈，连中三元的概率，居然还有二成呀！

再来看看最终的全部概率分布吧（精确到百分号小数点后6位），计算方法同上，只是把k换成0-10的整数即可：

十次中0次的概率是10.737418%

十次中1次的概率是26.843546%

十次中2次的概率是30.198989%

十次中3次的概率是20.132659%

十次中4次的概率是8.808038%

十次中5次的概率是2.642412%

十次中6次的概率是0.550502%

十次中7次的概率是0.078643%

十次中8次的概率是0.007373%

十次中9次的概率是0.000410%

十次中10次的概率是0.000010%

可见，十次中十次，概率几乎不存在啦（但还是可能的，只是概率太小了，约十万分之一）。十次都不中，概率约为10%。

可见如果中签率为20%，打10次想要不中签，还挺难的。

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二项分布和泊松分布的关系

从上面可知，二项分布可以完美的解决独立重复事件的概率计算，但为什么还需要讨论泊松分布呢？

这是因为，如果次数n太大（比如说真实情况下上证每年发行几百只新股，打新者每次都打几十个号，这样n就有可能达到几千），或者概率p太小（单个号的中签率么，呵呵了，万五算好的了），你会发现，二项分布的前2个乘数，都很难求。尤其是n！，如果要直接暴力求解，计算机要爆掉！

泊松分布此刻便出马了。

泊松分布对二项分布的展开项进行了优雅的化简和近似，尤其用到了自然对数的极限表达式定义（具体化简过程大家自行度娘吧，这里不展开了），使得化简的概率表达式为：

泊松分布的最终概率表达式，注意lambda为n*p