真理与超越：数学的起源、本质及目的（5）

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第一章：统一性（之四）

拉里·L·齐默曼于2015年9月9日 发表

四元数

在《数学：确定性的丧失》中，克莱因（Kline）声称，汉密尔顿（Hamilton）的“四元数”的“发明”是另一项从数学中抽走了真理的事件，因为它引入了不可交换的代数。但四元数只是打开了更一般的向量代数的大门，克莱因承认，“并没有挑战实数系统的正确性。”（30）

自由

或许除了综合型的尼古拉斯·布尔巴基（Nicholas Bourbaki），尤金· 魏格纳（Eugene Wigner ）比其他任何人都更有资格，在面对数学的起源的人道主义假设时，他诚实地写出了由数学的统一性所造成的冲突。根据诺贝尔奖得主魏格纳的说法，“伟大的数学家充分地，几乎是无情地，利用了可允许推理的领域和不允许的边缘。鲁莽并没有使他陷入矛盾的困境中，这本身就是一个奇迹。”然后，魏格纳又补充了这一含义模糊的观察报告，“从它似乎拥有完美这点来看，很难相信，我们的推理能力是由达尔文的自然选择过程带来的。”（31）

如果数学已经被某人仔细思考和构建，那么它就是合乎逻辑的，且将不会有矛盾了。

许多数学家，比如魏格纳，相信数学是一个统一的实体“就在那里”——他们是柏拉图主义者。然而，他们并没有像基督教徒那样，认为有必要去解释这一实体的起源，而是满足于将其贴上一个奇迹的标签。这里的基督教立场是理性的。如果数学已经被某人仔细思考和构建，那么它就是合乎逻辑的，且将不会有矛盾了；最初的思想家对其结构施加的约束保持了其统一性和完整性，并推动数学家清除了“矛盾的泥沼”。

物理化学家吉尔伯特·N·刘易斯（Gilbert N. Lewis）,虽然不归荣耀与神，然而他承认，“我们不能避免那种已经开始了一种特定路线的数学探究的思想，虽然看上去我们保留了最大限度的个人自由，然而我们似乎必然地跟随某些路径，有所发现并且改造一些发现......”（32）

[if !supportLists]G. [endif]H.哈代（G.H. Hardy），尽管他认为上帝是他的敌人，但他还是不得不同意了。他说，“我相信数学现实存在于我们之外，我们的职责是发现或观察它，而我们所证明的定理，以及我们大言不惭地将其描述为我们的“创造”的定理，只是我们观察的注释。”（33）

尽管有像哈代这样的观点，但用看似矛盾的假说来思考非欧氏几何的大多数数学家却被导向一种假定，即任何陈述都可能是假设的。约翰·W·N·苏利文代表了众多数学家的看法，他说，“非欧几何的进一步发展及其被爱因斯坦应用在物理现象中表明，欧几里得的几何学不仅不是思想的一个必然，而且它甚至不是最方便的应用于现存空间的几何。当然，至此我们所赋予的数学实体的地位发生了深刻的变化，同时，对数学家的活动也有了不同的评估。我们可以从任何一组我们喜欢的公理出发，只要它们彼此是一致的，然后就可以得出一个数学分支。基本的定义和假定不是由经验赋予的，也不是思想的必需品。”（34）

所以，罗素并不是在开玩笑——揶揄的猜想——当他说数学家不知道他们在说什么，也不知道是不是真的时。克莱因所理解的意思是，罗素所说的数学是不包含“真理”的“大量的知识”（35）。当理查德·狄德金（Richard Dedekind）宣称“数字是人类思想的自由创造”（36）时，他是很严肃的；乔治·康托尔（Georg Cantor）说，“数学的本质在于它的自由”（37）时也是如此。“这是真的吗?”对于这个问题，C·J·凯塞尔（C.J.Keyser）回答说：“数学家作为一个人虽然关心却并不知道。而人作为数学家既不知道也不在乎。”（38）

这里的缺点是，尽管他们宣称自己可以自由地假设任何使他们的幻想满足的东西，但大多数数学家承认，并非每一个陈述都应该被假定。正如道格拉斯·加斯金（Douglas Gasking）所宣称的那样，“数学确实依赖并反映世界的本质至少到这种程度，我们会发现某些系统非常不方便，且很难使用，而另一些则相对简单和便利。”尽管他相信这种便利“取决于我们的心理构造”而不是“外部世界”，加斯金承认，“使用一种算术或几何，例如，我们可能会发现物理学可以简化为一个逻辑整洁简单的系统，而使用不同类型的算法和几何怎是智力上的满足，我们应该发现我们的物理学充满了非常复杂的特别的假设。”（39）

无独有偶，爱因斯坦（Einstein）说，“一个致力于解决一个精心设计的单词谜题的人会提出任何一个词作为解决方案；但只有一个词能真正解决这个谜题的所有形式。这是信仰的一个结果，也即本质......决定了一个精心设计的谜题的特征。科学所获得的成功确实给予了这种信念一定的鼓励。”（40）

P.s.

1-括号里的数字为注释；

2-注释及英语原文请参考网站：https://answersingenesis.org/answers/books/truth-transcendent/