Frenet标架

命题1：。▼
proof：因为即可以把两个叉乘的点乘看做是一个混合积的形式。又因为混合积是顺序轮换的，因此
而，于是█

命题2：向量函数具有恒定模长，当且仅当。▼
proof：设，于是，从而。反过来若两者垂直，则点乘为0，两边积分即可得到为恒定模长。█

设曲线，在任意一点的切向量为，从而单位切向量为
因为，因此根据命题2可知，。因为是单位切向量，于是与之垂直的即为法向量，我们令即可得到单位法向量。

我们现在来求解。设，于是。我们注意到，在这里不是常数，它仍然是关于变量的函数，事实上令，于是现在，我们有
此外所以下面来分析各个量：

• 首先，因为，所以；
• 而，故；
• 此外。

于是又有而根据命题1，进一步有
因为分别是单位切向量和单位法向量，两者彼此正交，因此二者的叉乘也是一个单位向量这个单位向量因为也与切向量正交，因此也是一个单位法向量，为了与区分，称其为副法向量。这三个向量符合右手定则。因为空间曲线每一个点都能定出这三个彼此正交的单位向量，这个标架称为Frenet标架。三个向量作为坐标，可以形成三个坐标面，分别是密切平面、从切平面和法平面，如下图所示：

事实上从上面推导还可以得出如下命题：

命题3：设向量，则对其正规化有，则 其中。