对类型理论(Type Theory)的理解

作为程序员的我们用不同编程语言写程序多年了。 我们是否反思过，为什么需要程序，为什么我们需要编程语言，究竟什么是编程语言，它们是怎样运作的？同时，函数式编程范式现在是一门很热的潮流，那什么是函数式编程？是 Haskell, Scalar 还是其它呢？在此，我想基于自己对类型理论(Type Theory)，范畴论(Category Theory), 证明论(Proof Theory) 的理解，分享下我对以上问题看法。

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为什么我们需要程序呢？所有的人类活动都是为了创造有形的和无形的价值。其中生产力就是衡量我们创造价值的速度。因此我们需要程序的原因是为了提高生产力。换言之，通过程序去自动化解决问题。我们对现实生活的问题抽象建模成一个概念和关系的体系，以便于我们思考如何一步步地解决问题。例如，我们在研究物理问题时候，把物体看作为质点，然后研究其的运动轨迹，即其于其环境的空间关系及变化。也就是说，我们思考出来的解决问题的步骤，就是算法。然后，我们把算法用某种编程语言表达及编译成程序，让其运行在机器上，那么，机器就会根据我们的想法一步步的解决问题。因此，编程语言是一门语言，是表达计算(Computation)的一种方式，可以同时让我们人类和机器理解。

那什么是计算(Computation)呢？计算是基于当前状态，知道如何走到下一步，如此一步步走向目标。因此，计算是允许有结束的，得出结果，和没有结束的，无限循环。算法就是一连串的计算组成起来去解决特定的问题。

现在，我们了解为什么需要程序和编程语言了。因此是时候问，什么是编程语言。基于Robert Harper的论述，编程语言有那个组成部分，静态(Statics)和动态(Dynamics). 静态(Statics)包括具体语法(Concrete syntax)，抽象(Abstract Syntax) 以及 上下文相关的条件(Context sensitive conditions)，那些条件指的是 类型形成规则(Type Formation rules) 和 表达式类型规则 (Typing judgement for expression).

而动态(Dynamics)包括 值规范(Specifications of Values) 和 表达式化简与计算 (Expression transitions or Expression Evaluation).

这两部分是相互一致，共同地保证类型安全(Type safety)，即所有类型正确的程序(well-typed programs)都会在运行时正确地执行(well behave)，也就是说，类型正确的程式永远不会执行未定义的行为(well-typed programs never get stuck).

编程语言的具体语法规定了我们如何在文本编辑器上编写程序，即程序如何通过字符串表达出来。即，具体语法决定了源代码的样子。在源代码被编译器解析后，编译器会根据程序逻辑去构建抽象语法树(Abstract Syntax Trees) 和 抽象绑定树(Abstract Binding Trees) ，其中抽象绑定树就是抽象语法树上加上变量(Variable Bindings)和作用域(Scoping)。它们都是树结构，节点为操作器，叶子为变量或值。同时，它们确定了什么是表达式，如何构建表达式。这里的变量是数学上的变量，而非编程语言中所谓的变量，一旦赋值后，其值不变，就系 Swift 中的常量(Constant)的概念。而编程语言的变量，我们给另一个名字，可重赋值量(Assignable)，可以重复对其赋值，以便区分。因为这不同特性，会根本性地改变我们的推理。

下面说下类型形成规则(Type Formation rules) 和 表达式类型规则 (Typing judgement for expression)。它们指定了什么是类型，表达式是什么类型。在Swift的语言规范(The Swift Programming Language Reference)中，我们见到有不同章节(Sections)，包括介绍类型的(Type)，表达式的(Expression)，声明的(Declaration)。那些章节告诉我们怎样用Swift创建类型和表达式。在声明章节中，我们知道如何创建类型，变量，及其他内容。在类型章节中，我们知道，在Swift中，什么是类型。在表达式章节中，我们知道如何在Swift中写表达式。这些内容就是Swift 静态的一部分。

转到动态。动态指程序的运行，也就是怎么实现计算。动态规范了不同的规则去指出怎么样的表达式是值，怎样去得到一个表达式的值。它就像一个有限状态机，指明开始状态(initial state, any expression), 结束状态(final state, values)，以及怎么实现状态变换(state transition, expression evaluation).

在动态求值的过程中，是无关类型信息的。因为静态与动态的一致保证了类型正确的程序必会正确执行(well-typed program will well behave when it runs)。换言之，类型在状态转换时会被保留(type is preserved by transition (Preservation))，同时如果一个表达式是类型正确的，那它必定是一个值或者可以通过状态转换到另一个表达式(if an expression is well typed, then it will be a value or can transition to another expression (Progress))。从而我们可以定义函数式编程就是具备这样的属性，即程序的可决定性。

值得一提的是，类型不等同集合，因为类型允许分函数(Partial Function)和全函数(Total Function)，分函数指不收敛的函数，有可能没有返回值，全函数指收敛函数，肯定会有返回值。而集合只允许全函数。具体的例子可以查看递归类型(Recursive Types)。

类型是表达式的行为规范。这意味着一个表达式的类型指明了那表达式的行为。而且，在一个函数里面，函数只知道参数的类型，而不知参数的具体值。这也保证了程式的抽象力和组合力。因此不同类型和不同种的类型给出了不同的行为规范，也就保证了程式的运行。再者，一门编程语言的语言特性是由它的类型体系决定的。因此，在一定程度上，对类型体系的了解决定了程序的质量。

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