尺规作图的智力游戏？

                                                      尺规作图的智力游戏？

欧几里得（ 图片来自网络 ）

       除了《圣经》之外，版本最多大概就是著名数学经典《几何原本》了。它开篇第一册的一大堆命题考虑尺规作图，也即只用两种工具——直尺（只用于画直线，且没有刻度）和圆（只用于画圆弧，且当圆规两脚离开纸面后，其张开量将被认为已经失去）——画出一些几何图形。

       就像齐斯·德福林在《数学的语言》一书中所说，虽然希腊数学家会因为问题的需要而使用不同的工具，但“他们的确认为尺规作图是一种特别优雅的智力挑战：对于希腊人来说，一个可以只用两个最原始的工具来作图的图形，不知为何就是更基础，更纯粹；而一个只使用这些工具所获得的答案，更是被认为拥有特定的美的吸引力。”

       说到尺规作图，就不能不提数学史上的英雄时代的“三大著名难题”——化圆为方（求与圆面积相等的正方形）、立方体加倍（或“得洛斯难题”，即给定立方体的边，仅用圆规和直尺做出另一个立方体，使它的体积等于第一个立方体体积的两倍）、三等分角（给定一任意角，仅用圆规和直尺作出另一个角，使之等于给定角的三分之一）。其实，这三大难题，并不是重要的数学问题，之所以出名，是因为在尺规作图这个限制的情况下，长年来始终无法求解。两千多年后，直到1882年，德国数学家费迪南·林德曼以笛卡尔坐标来进行的纯代数方法才给出了总结性的证明：这三个难题，仅凭直尺和圆规，是无法解决的。

       就像前面所说的，尺规作图的限制只是个希腊的智力游戏，他们完全可以在不受到这个限制下求解这三个问题，而事实是，不久之后，希腊的数学家也解决了这三个问题。然而，正如卡尔·B.博耶在《数学史》中所说：“在努力完成这件不可能完成之事的过程中，或者——在失败之后修改法则的过程中——却暗示了希腊数学及后来数学思想中更有价值的部分。”

      我们稍微举几个在探求这“三大古典难题”的过程中，数学家在其他方面赢得的辉煌成就。

       首先，希庇亚斯曲线（也即三等分角线）。后来狄诺斯特拉显示了希庇亚斯曲线可以用来求圆面积，继而能够用它来求与圆面积相等的正方形，所以通常又称为割圆曲线。这里说几句和数学关系不大的话，关于厄里斯城的希庇亚斯，苏格拉底曾把他描述为英俊潇洒、学识渊博，但自负而浅薄；在柏拉图的笔下他也是一个典型的诡辩家——虚荣、自负，贪得无厌。我们知道，柏拉图很看重几何学，有趣的是诡辩家的开创者和这场运动的主要反对者苏格拉底都是反对数学和科学的。

        第二，“门奈赫莫斯的切割圆锥体”。门奈赫莫斯与上文提到的狄诺斯特拉是兄弟，且二人都师从科学天文学之父——欧多克索斯，而这位伟大的数学家曾求学于柏拉图学园。如果读者要是知道柏拉图曾问学于阿契塔、西奥多罗斯和泰阿泰德，就会发现，原来在希腊，有一条从老师到学生的强有力的传承路线。言归正传，总之，门奈赫莫斯通过切割圆锥体不仅成功地找到了带有适用于立方体加倍的那些属性的曲线，且在这个过程中，他偶然发现了圆锥曲线——也即后来被称为椭圆、抛物线和双曲线的那些曲线。

阿基米德（图片来自网络）

       第三，阿基米德螺线。提到阿基米德，相信读者的脑海里多半会飘出一句：“给我一个支点，我可以撬起地球”或者“浮力定律”。但这位伟大的数学物理学家，还有一条鼎鼎大名的螺线，正是这条螺线给“三等分角”和“化圆为方”这两个难题提供了解答。卡尔·B.博耶在《数学史》中评价说：“希腊数学有时候被描述为本质上是静态的，不大重视可变性的概念，但阿基米德在研究螺线的时候，似乎通过类似于微分的运动考量，求出了一条曲线的切线。想到螺线r=aθ 上的一点受到双重运动——远离坐标原点的匀速径向运动和围绕原点的圆周运动——的影响，他似乎通过记录两个组成运动的合成矢量，从而得出了（通过速度的平行四边形）运动的方向（因而也得出了这条曲线的切线方向）。这似乎是得出一条不是圆的曲线的切线最早的实例。”

         最后，我们谈谈关于“立方体加倍”的起源的小故事。在卡尔·B.博耶的《数学史》上有记载。据说，公元前427年，政治家伯里克利死于一场夺去了雅典人口大约四分之一的瘟疫。而这场大灾难给人们留下的深刻印象，却多半是因为“立方体加倍”这个著名数学难题的起源。据传，雅典人派出了一个代表团，去得洛斯岛找阿波罗的神使，询问如何才能避开这场瘟疫，神使的答复是：必须把阿波罗的立方体祭坛扩大一倍。据说雅典人忠实地把祭坛的尺寸扩大了一倍，但并没有避开瘟疫。现在我们知道，边长扩大一倍，在体积上，祭坛实际上增加了8倍，而不是两倍。据传，这就是“立方体加倍”问题的起源，也被成为得洛斯难题。

       姑且不论这则传说的真假，但它背后的观念未必不能反映当时希腊的价值观。数学难题比人的生命更重要，其实是在说“得救其实是一个智力问题”吧。按照这一想法，大多数人都是该死的，虽然我们确实是该灭亡的，不过这样一来活着还有什么盼望呢，尤其是看到墓碑上一个又一个的墓志铭都是：“这个人是蠢死的”或者“又一个蠢死的家伙”。幸好四百多年之后，有一婴孩为我们而生，给我们送来了光明的福音。就像经上所说：“福音本是　神的大能，要救一切相信的，先是犹太人，后是希腊人。因为　神的义正在这福音上显明出来；这义是本于信，以至于信。如经上所记：‘义人必因信得生。’”上帝知道凭借我们堕落的理性是没有办法自救的，所以祂先爱了我们，拣选了我们，并在万世以前预定使我们得荣耀。此爱，何等长阔高深啊！

        当希腊的理性遇见了基督教的启示，惊奇的事情就发生了......