近世代数理论基础10：变换群·置换群

变换群·置换群

变换

设X是非空集合,从集合X到X的所有双射所成的集合记为,中的元为X上的变换,若X为有限集合,则称为置换

变换群

易证在映射合成的意义下构成群,单位元为恒等映射,逆元为相应的逆映射,的任一子群称为变换群,若X为有限集合,则称为置换群

若,则记,称为n阶对称群

置换

若X为有限集,令,,若,其中是的一个排列,则可把置换记作

故中有个元

循环置换

设置换满足：

1.

2.保持其他元不变,即,有

则称为循环置换,记作,其中r称为循环置换的长度

例：在中,令,,,,,故,,,,,故

注：循环置换的表示不是唯一的

设为循环置换,则

恒等置换

在中,是恒等置换,即群的单位元

循环置换的关系

设是两个循环置换,若集合和的交集为空集,则称置换和相互独立或不相交

引理：相互独立的循环置换可交换

证明：

定理：任意置换可唯一地表示成相互独立的循环置换的乘积

证明：

例：设,则

例：将写成互不相交的循环置换的乘积

解：

对换

定义：长为2的循环置换称为对换

定理：任一置换可表成若干个对换的乘积

证明：

偶(奇)置换

若置换可表成偶数(奇数)个对换的乘积,则称是偶(奇)置换

注：是偶(奇)置换是偶(奇)排列

设,为对换

由映射的乘法

n次交错群

两个偶置换的乘积是偶置换,偶置换的逆变换仍是偶置换,故中所有偶置换作成的子群,称为n次交错群,记作

注：

例：

1.三次交错群包含3个元

2.设,,则

证：

同态映射

定义：设,是两个群,若,满足,则称f为G到的一个同态映射

注：

1.设f为群G到的同态映射,则G在中的像为同态像

2.若f为满射,则称G与同态,记作

3.若f为一一映射,则称f是从G到的同构映射,称与同构,记作

4.群的结构由它的乘法完全确定,故同构的群本质上没有区别

5.同态映射是保持乘法的映射,即若是同态映射指,有

例：

1.设,,定义映射f：

显然f为满射,故f是从到上的满同态,且不是单同态

2.设,乘法定义为矩阵的乘法,为全体非零实数的集合,乘法定义为实数的乘法,定义映射f：

易证,f是满同态,且不是单同态

Cayley定理

定理：任一群与一个变换群同构

证明：

注：定理表明,一个群无论形式如何,总可看成一个变换群

推论：任一有限群与一置换群同构