程序员的数学I

排列组合 I 解决计数问题的方法

• 计数——与整数的对应关系

计数就是计数对象和整数的对应起来的过程，注意两点：

1. 遗漏
2. 重复

如果需要计数的对象多到无法数数，就需要找到和整数之间的对应规则，为此，我们必须理解计数对象具有怎么样的特性和结构

• 思考：植树问题，在10米长的路上，从路的一端起每隔1米种一棵树，那么需要种多少棵树？

0,1,2,...10 不要忘记0哦，所以是11棵树
10/1的结果是间隔数
抽象 n米种树n+1棵

• 思考：内存中排列着程序要处理的100个数据，从第一个数据开始编号为0，依此类推最后一个数据的编号是？

99号
归纳总结 第k个数据是k-1号

加法法则

加法法则就是将无“重复”元素的两个集合A，B相加，得到A和B并集的元素数

• A并B的元素数 = A的元素数 + B的元素数
• 加法法则只在集合中元素无重复的条件下成立

容斥原理

• 思考：控制亮灯的扑克牌，一副牌有(1->K)13个级别，假设J,Q,K用11,12,13代替，在你面前放一个装置，往里面放1张牌，它就会根据牌的级别控制灯泡的亮灭。我们设放入的牌的级别为n(1-13的整数)
  1. 若n是2的倍数，则亮灯
  2. 若n是3的倍数，也亮灯
  3. 若n既不是2的倍数，也不是3的倍数，则灭灯
     往这个装置中依次放入13(1...13)张牌，其中亮灯的有多少张牌呢？

答案：6+4 -2 = 8
利用了容斥原理，2的倍数和3的倍数如果有重复的倍数，就是6，6的倍数有两次→6,12 2的倍数的个数6加上3的倍数的个数4，减去重复的倍数的个数2，就是答案

• 容斥原理就是考虑了重复元素的加法法则
  集合A、B的元素总和 = A的元素数 + B的元素数 - A和B共同的元素数

乘法法则

根据两个集合进行配对的法则

• 思考：一副牌中四种花色，每个花色13张牌，那么总共有几张牌？

4 * 13 = 52
A和B两个集合，所有元素分别结合起来，组合的总数就是相乘得到的结果

• 思考：将三个骰子(1-6点)并列放置，形成3位数，一共能形成多少个数字？

没错，6 * 6 * 6 = 216

• 思考：32个灯泡一排，每个灯泡可以亮灭，问共有多少种亮灭模式

每一种2个，2x2x2......2(共32个)
2^32＝4294967296

置换

将n个事物按顺序进行排列称作置换(subsitution)

• 思考：3张牌的置换，如果将A,B,C三张牌按照ABC,ACB,BAC等顺序排列，共有多少种排法？

6种
可以看出，第一张牌有3种选法，第二张牌有2种，第三张牌有1种，3 * 2 * 1 = 6
对，这就是阶乘1!=1 2!=2 3!=6 4!=24

排列组合II

• 思考：从5张牌中任意取出3张进行排列，请问有多少种排列方法？

答案明天揭晓~