Homogenization method 2

在博士论文《均匀化理论在骨力学中的应用》中，

第一章有一些作者自己的理解：1.关于epsilon的展开式子，如何关联宏观微观的见摄动理论；2.y=x/epsilon的理解：假定周期Y，即RVE的尺寸与整体域相比很小，材料的特征函数应该满足在微观尺度变化很大，宏观尺度变化很小。这里x对应宏观尺度，是变化很小的量，“慢”变量，而y对应微观尺度，变化快，“快”变量。另外的理解是对一个局部高速震荡，整体周期的函数phi(x)，如果通过变量替换y=x/epsilon，变成phi(y)，其实就是对一个周期放大了来看。另外，我自己的理解，可以看做单位换算，x单位是米，y单位是毫米。

综上，考虑函数phi的级数：phi(x,y)=phi_0(x,y)+epsilon*phi_1(x,y)+...，假设phi在大尺度x上与y无关，不含phi_0(x,y)就是phi_0(x)，并且这里所有phi_i是关于x是光滑的，关于y是周期的。

第二章完全是翻译的《A review of homogenization and topology optimization I》

第三章3.2有effective property 具体怎么算（先comsol算看看，matlab写代码周期太长）

在《Generating optimal topologies in structrural design using a homogenization method》（1988年，Bendoe）中，（有E^H怎么计算）

大体思路：1.作用力下的平衡问题写成数学表达式：势能F^epsilon(v^epsilon)的最小化问题；2.带上标epsilon的式子都能进行关于epsilon的展开，具体见摄动理论；3.势能F^epsilon(v^epsilon)的展开使得在epsilon->0的时候，极限为F(v_0,v_1)，条件是RVE边界的周期性，见式子（36）；4.求解极限F^epsilon(v^epsilon)的最小化时，采用化为弱解形式一样的手法，得到解{u_0,u_1}满足的两个条件；5.假定u_1有个展开（式子（28）），由u_0的一介导数和y的函数phai(y)相乘的项组成，类似泰勒的一介展开项，可以理解为f'(x)(x-x_0)中，y=x-x_0，y在很小的区间内，另外，同时把4中的条件1中的u_1替换掉了，使得条件1可以写成只含宏观项的弱解形式；6.假设phai(y)满足一定条件（式子（29）），使得4中的条件2中的多重积分里面的积分项恒为0（简单的交换下phai(y)的上下标，利用Einstein和性质，就能证明），据此可以解出phai(y)；7.利用条件1的只含宏观项的弱解形式，得到等效的E。

Homogenization起的作用：建立RVE的density（或者size of holes）与等效性质之间的关系；SIMP中只是简单的认为是rho^3*E，这里每次都要做有限元的。

数学技巧：1.最小化问题化为弱解形式（利用方向导数）；2.Einstein和