（Caffe，LeNet）权值更新（七）

本文从CSDN上转移过来：
http://blog.csdn.net/mounty_fsc/article/details/51588773

在Solver::ApplyUpdate()函数中，根据反向传播阶段计算的loss关于网络权值的偏导，使用配置的学习策略，更新网络权值从而完成本轮学习。

1 模型优化

1.1 损失函数

损失函数$L(W)$可由经验损失加正则化项得到，如下，其中$X^{(i)}$为输入样本；$f_W$为某样本的损失函数；$N$为mini-batch的样本数量；$r(W)$为以权值为$\lambda$的正则项。

$L(W) \approx \frac{1}{N} \sum_i^N f_W\left(X^{(i)}\right) + \lambda r(W)$

在caffe中，可以分为三个阶段：

1. 前向计算阶段，这个阶段计算$f_W$
2. 反向传播阶段，这个阶段计算$\nabla f_W$
3. 权值更新阶段，这个阶段通过$\nabla f_W,\nabla r(W)$等计算$\Delta W$从而更新$W$

1.2 随机梯度下降

在lenet中，solver的类型为SGD(Stochastic gradient descent)

SGD通过以下公式对权值进行更新：

$W_{t+1} = W_t + V_{t+1}$
$V_{t+1} = \mu V_t - \alpha \nabla L(W_t)$

其中，$W_{t+1}$为第$t+1$轮的权值；$V_{t+1}$为第$t+1$轮的更新（也可以写作$\Delta W_{t+1}$）;$\mu$为上一轮更新的权重；$\alpha$为学习率；$\nabla L(W_t)$为loss对权值的求导

2 代码分析

2.1 ApplyUpdate

void SGDSolver::ApplyUpdate() {
  // 获取该轮迭代的学习率(learning rate)
  Dtype rate = GetLearningRate();

  // 对每一层网络的权值进行更新
  // 在lenet中，只有`conv1`,`conv2`,`ip1`,`ip2`四层有参数
  // 每层分别有参数与偏置参数两项参数
  // 因而`learnable_params_`的size为8.
  for (int param_id = 0; param_id < this->net_->learnable_params().size();
       ++param_id) {
    // 归一化，iter_size为1不需要，因而lenet不需要
    Normalize(param_id);
    // 正则化
    Regularize(param_id);
    // 计算更新值\delta w
    ComputeUpdateValue(param_id, rate);
  }
  // 更新权值
  this->net_->Update();
}

说明：

1. lenet中学习参数设置可从lenet_solver.prototxt中查到

   # The base learning rate, momentum and the weight decay of the network.
   base_lr: 0.01
   momentum: 0.9
   weight_decay: 0.0005
   # The learning rate policy
   lr_policy: "inv"
   gamma: 0.0001
   power: 0.75
   

2. 获取学习率函数ApplyUpdate代码此处不给出，查看注释（以及caffe.proto）可知有如下学习率获取策略。在Lenet中采用的是inv的策略，是一种没一轮迭代学习率都改变的策略。

     // The learning rate decay policy. The currently implemented learning rate
     // policies are as follows:
     //    - fixed: always return base_lr.
     //    - step: return base_lr * gamma ^ (floor(iter / step))
     //    - exp: return base_lr * gamma ^ iter
     //    - inv: return base_lr * (1 + gamma * iter) ^ (- power)
     //    - multistep: similar to step but it allows non uniform steps defined by
     //      stepvalue
     //    - poly: the effective learning rate follows a polynomial decay, to be
     //      zero by the max_iter. return base_lr (1 - iter/max_iter) ^ (power)
     //    - sigmoid: the effective learning rate follows a sigmod decay
     //      return base_lr ( 1/(1 + exp(-gamma * (iter - stepsize))))
     //
     // where base_lr, max_iter, gamma, step, stepvalue and power are defined
     // in the solver parameter protocol buffer, and iter is the current iteration.
   

2.2 Regularize

该函数实际执行以下公式

$\nabla w_{ij}=decay*w_{ij}+\nabla w_{ij}$

代码如下：

void SGDSolver::Regularize(int param_id) {
  const vector*>& net_params = this->net_->learnable_params();
  const vector& net_params_weight_decay =
      this->net_->params_weight_decay();
  Dtype weight_decay = this->param_.weight_decay();
  string regularization_type = this->param_.regularization_type();
  // local_decay = 0.0005 in lenet
  Dtype local_decay = weight_decay * net_params_weight_decay[param_id];
    
  ...
      if (regularization_type == "L2") {
        // axpy means ax_plus_y. i.e., y = a*x + y
        caffe_axpy(net_params[param_id]->count(),
            local_decay,
            net_params[param_id]->cpu_data(),
            net_params[param_id]->mutable_cpu_diff());
      } 
  ...
}

2.3 ComputeUpdateValue

该函数实际执行以下公式
$\nabla w_{ij}=lr_rate\nabla w_{ij}+momentumw^{'}_{ij}$
$w^{'}$为上一轮的权值，注意结果保存的位置在cpu_diff中即loss对参数的梯度中

代码如下：

void SGDSolver::ComputeUpdateValue(int param_id, Dtype rate) {
  const vector*>& net_params = this->net_->learnable_params();
  const vector& net_params_lr = this->net_->params_lr();
  // momentum = 0.9 in lenet
  Dtype momentum = this->param_.momentum();
  // local_rate = lr_mult * global_rate
  // lr_mult为该层学习率乘子，在lenet_train_test.prototxt中设置
  Dtype local_rate = rate * net_params_lr[param_id];
  
  // Compute the update to history, then copy it to the parameter diff.

  ...
    // axpby means ax_plus_by. i.e., y = ax + by
    // 计算新的权值更新变化值 \delta w,结果保存在历史权值变化中
    caffe_cpu_axpby(net_params[param_id]->count(), local_rate,
              net_params[param_id]->cpu_diff(), momentum,
              history_[param_id]->mutable_cpu_data());

    // 从历史权值变化中把变化值 \delta w 保存到历史权值中diff中
    caffe_copy(net_params[param_id]->count(),
        history_[param_id]->cpu_data(),
        net_params[param_id]->mutable_cpu_diff());
   ... 
}

2.4 net_->Update

实际执行以下公式：
$w_{ij}=w_{ij}+(-1)*\nabla w_{ij}$

参考文献：

[1]. http://caffe.berkeleyvision.org/tutorial/solver.html