数位动态规划是一类特殊的动态规划，它的形式一般为：给定下界$l$和上界$r$，求$[l,r]$之间满足某一要求的元素个数。
一般来说，数位动态规划有一个特定的状态表达：$f[pos][stats][bound]$
它表示：
- 我们现在处理到了数的第pos位。在数位dp中，一般从数的高位到低位，一位一位的处理下去。例如当 $l = 13$,上界 $r = 678$的时候，我们会将上下界的高位补零使得它们有相同的位数，既$（l,r）= (013,678)$。随后从高位开始进行dp。
- 在$pos$位之前的哪些数的状态被压缩成了$stats$。举个简单的例子，假设我们要求出$[l,r]$之间各位数字之和是$5$的倍数的数的个数，那么此时$stats$就可以表示为“在pos位之前那些数的数字之和为mod 5 的值”，这样我们只有一位就可以表示$pos$位之前的状态。如果在第${pos}$位我们选择了数d,那么动态规划中的下一个状态就为${f}[pos+1][(stats+mod) mod 5][...]$
- 在$pos$位之前的那些数字和$l,r$的关系为$bound$。继续举例子，假如要求出[013, 678]之间各位数字之和是5的倍数的数的个数:
1.如果最高位的数字我们选择了 2，它和上下界的最高位数字没有任何关系，因此对于次高位的数字，我们可以在 [0, 9]之间任意选择；
2.如果最高位的数字我们选择了 6，此时这个数字是「贴着」上界的，也就是说，对于次高位的数字，我们只能在 [0, 7] 之间选择，其中 7 就是上界的次高位的数字。如果我们选择了数字 8 或 9，那么整个数为 68_，无论最后一位怎么选择，都不可能在上下界的区间内；
3.如果最高位的数字我们选择了 0，此时这个数字是「贴着」下界的，也就是说，对于次高位的数字，我们只能在 [1, 9]之间选择，其中 1 就是下界的次高位数字。如果我们选择了数字 0，那么整个数为 00_，无论最后一位怎么选择，都不可能在上下界的区间内；
4.此外，还有一种最为特殊的情况。如果上下界为$ (l, r) = (123, 156)$，并且最高位我们选择了 1，那么此时这个数字既「贴着」上界，也「贴着」下界，对于次高位的数字，我们只能在 [2, 5]之间选择，其中 2 是下界的次高位数字，5 是上界的次高位数字。
综上所述,$bound$共有4中不同的取值情况，分别为0,1,2,3:
- 如果和上下界没有任何关系，那么取值为 0，并且以后也不可能和上下界有关系；
- 如果「贴着」下界，那么取值为 1，并且只有当第$pos$ 位取了下界对应位置的数字时，才会延续 1 值，否则会变为 0；
- 如果「贴着」上界，那么取值为 2，并且只有当第 $pos$ 位取了上界对应位置的数字时，才会延续 2 值，否则会变为 0；
- 如果同时「贴着」上下界，那么取值为 3，并且：如果 $pos$ 位同时取了上下界对应位置的数字（此时上下界对应位置的数字一定相同），那么延续 3值；如果$ pos $位取了下界对应位置的数字，那么会变为 1；如果$ pos$ 位取了上界对应位置的数字，那么会变为 2；其余情况会变为 0。
而对于$ f[pos][stats][bound]$ 的值本身，它表示「满足上述条件的数的个数」。这样以来，我们可以使用记忆化搜索（DFS + memo）的方法进行动态规划即：$f[pos][stats][bound] = \sum_{d} f[pos+1][g_{s}(stats,d)][g_{b}(bound,d)]$。
其中$d$为第$pos$位选择的数字；$g_{b}(bound,d)$是关于bound的转移函数，例如上文中0，1，2，3之间的转化；$g_{s}(stats,d)$是关于${stats}$的转移函数。最终答案存放在$f[0][stats_{init}][3]$中，即满足「枚举到最高位、初始状态、同时贴着上下界（可以想象成更高位还可以补零，那么在最高位之前的数字都是贴着上下界的）」的数的个数，也就是需要求出的答案。