同济高等数学第七版1.6习题精讲

同济高等数学第七版1.6习题精讲

1.计算下列极限。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

解：(1)如果

如果，原式=0.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

2.计算下列极限。

(1)

(2)

(3)

(4)

解：(1)

(2)

(3)

(4)

3.根据函数极限的定义，证明极限存在的准则。

如果(1);

(2);

那么存在，且等于A。

证明：因为;则对于任意小的，总存在,当时，恒成立。

又因为;则对于任意小的（可以认为与上面的一样，总存在,当时，恒成立。

所以，取时，也会有当时，有三明治定理，也叫夹挤定理可得恒成立。

4.利用极限存在准则证明：

(1);
(2)
(3)数列 的极限存在
(4)
(5)

证明：(1)因为，所以同时取极限后极限等于1.

(2)

所以同时取极限后极限等于1.

(3)利用单调有界数列来证明。

使用数学归纳法，显然成立，假设也成立，那么当时，成立，所以可证得该数列为有界数列。

同时,(原因很简单，你看它多2呀)。所以该数列单调递增。

终上所述，该数列存在极限。通过观察可以获得该数列有规律假设极限答案为常数，对上式取极限，根据极限唯一性可得,所以,而舍去 。

(4)，所以同时取极限后极限等于1.

(5) 因为当时，有，所以同时取极限后极限等于1.