AC自动机详解

概述

　　AC自动机全称Aho-Corasick automaton，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法。

　　考虑这样一个场景，给出L个模式字符串（加总长度为N），以及长度为M大文本，要求从大文本中提取每个模式字符串出现的位置。如果使用KMP算法，时间复杂度将达到O(LM+N)，而使用AC自动机可以在O(N+M)时间复杂度内解决这一问题，当L很大时，AC自动机的优势非常明显。

建立AC自动机

　　AC自动机实际上是前缀树，但是会引入一个与KMP类似的失败转移的概念。我们先为所有模式建立对应的前缀树，之后为每个前缀树结点添加一个指针fail，指向另外一个前缀树中的结点。每个前缀树中的结点实际上都代表了某个模式的一段前缀，我们之后将结点与其对应的前缀等同起来。令结点x的fail指针指向y（y不为x），其中y是x的后缀，且y是所有符合这类条件的结点中深度最大的（前缀长度最大的），我们称y是x的后缀结点，称x是y的伪父，显然伪父的伪父依旧还是伪父。可以很容易证明以x为起点沿着fail指针不断移动，可以遍历所有x的有效后缀，且访问到的结点深度递减。如果无法为结点的fail指针无法找到有效的结点，那么将fail指针指向前缀树的根结点root。

　　AC自动机的难度在于要如何为每个结点建立fail指针。由于fail指针指向的结点深度必然小于fail指针的持有者，因此可以用DP的思路，我们先为深度较小的结点建立fail指针，再为深度较大的结点建立fail指针。这个过程可以通过广度优先搜索算法实现。要建立x的fail指针，考虑到x.fail.father必然是x.father的某个有效后缀，因此我们可以通过以x.father为起点，沿着fail指针移动以寻找x.fail.father，并从而找到x.fail。这个过程十分类似于KMP中建立跳转表的过程，这里对其具体操作不再赘述。

使用AC自动机

　　如何使用AC自动机呢？我们维护一个轨迹结点trace，对于每个输入字符c，我们判断trace是否有c号孩子，如果有就将trace设置为其c号孩子，否则我们将trace设置trace.fail，并继续询问，直到trace成为root或者找到了c号孩子。重复上面过程直到读完文本。

　　若最后trace成功设置为其c号孩子，则我们称访问了c号孩子。可以证明若输入文本T中T[a...b]与某个模式p相匹配，那么当我们读入T[b]时，p和p的所有伪父中有且只有一个结点被访问。*对于任意c

时间复杂度

　　时间复杂度分为建立AC自动机的时间复杂度和匹配的时间复杂度。

　　设所有模式的长度和为n，文本长度为m。建立前缀树的时间复杂度为O(n)，而建立fail指针的时间复杂度分析类似于KMP算法中建立跳转表的时间复杂度。我们可以定义每个结点x的fail指针指向的y结点的深度为x的“子深”，记作x.cd。很容易发现x.cd<=x.father.cd+1，而我们每次从x.father出发沿着fail指针移动，x的子深也在不断递减但不会低于0，在为某个模式上的结点建立fail时，每次后移最多提供1个子深，因此在创建模式pi时我们最多沿着fail指针移动了|pi|次，故创建所有模式总共沿着fail指针最多移动O(n)次，到此说明了建立fail指针的时间复杂度为O(n)。

　　对模式匹配，每当我们读入一个字符c时，trace或者向下移动（即有c号孩子）并结束或者沿着fail移动到某个自己的后缀上去。显然向下移动最多发生O(m)次，而沿着fail移动，就如同我所说的每次都必定会降低子深，而每次向下移动可以提供最多1子深，因此可以保证沿着fail移动的次数最多为O(m)次。故总的时间复杂度为O(m)。

　　时间复杂度的总和为O(n+m)，空间复杂度为O(Cn)，其中C为使用的字符集的大小（用于建立前缀树）。