数据结构与算法学习笔记——归并排序、快速排序

归并排序

原理

归并排序是用了分而治之的思想，原理对照下边我画的图看很简单，将数组分成前后两部分，然后分别对这两部分排序，排序好之后再合并起来。

归并排序

而在代码中我们需要用到递归来实现。众所周知，递归先要找到递推公式和终止条件。

• 递推公式：sort(start, end) = merge(sort(start, mid), sort(mid + 1, end);

• 终止条件：start >= end

其中：

• mid = (start + end ) / 2;
• sort 方法是将数组拆分成两部分分别排序
• merge 方法是将两个排好序的数组合并成一个数组

代码

    private static void sortArray(int[] arr) {
        // 创建与 arr 等长的临时数组
        int[] temp = new int[arr.length];
        // 调用排序算法
        sort(arr, 0, arr.length - 1, temp);
    }

    private static void sort(int[] arr, int start, int end, int[] temp) {
        // 递归终止条件 拆到数组只有一个元素时，start = end
        if (start >= end) {
            return; // 结束递归
        }
        // 假设数组是｛0，1｝,start = 0, end = 1, mid = 0
        int mid = (start + end) / 2;
        // 对左边排序
        sort(arr, start, mid, temp);
        // 对右边排序
        sort(arr, mid + 1, end, temp);
        // 合并
        merge(arr, start, mid, end, temp);
    }

    private static void merge(int[] arr, int start, int mid, int end, int[] temp) {
        // i，j 为左列、右列各自第一个元素下标， k 为 temp 临时数组对应下标
        int i = start, j = mid + 1, k = start;

        // 顺序依次比较左、右列的元素，从小到大放入 临时数组对应位置
        // 如果任一列元素遍历完，就停止遍历
        while (i <= mid && j <= end) {
            if (arr[i] <= arr[j]) {
                temp[k++] = arr[i++];
            } else {
                temp[k++] = arr[j++];
            }
        }

        // 把左列或右列剩下没有进行遍历赋值的元素赋值到 temp 中
        while (i <= mid) {
            temp[k++] = arr[i++];
        }
        while (j <= end) {
            temp[k++] = arr[j++];
        }

        // 把本次合并区间排列好的元素从temp赋值到arr中
        for (int x = start; x <= end; x++) {
            arr[x] = temp[x];
        }
    }

分析

• 稳定性：合并时如果有相等的元素，先将前列的数据放入temp数组，保证有序性，是稳定的排序算法。
• 空间复杂度：需要一个临时数组 temp 来存放数据，空间复杂度O(n)。
• 时间复杂度：具体算法不写了，归并排序的时间复杂度与数组的有序程度无关，不管最好、最坏还是平均，时间复杂度都是O(nlogn)。

快速排序

原理

快速排序和归并排序很相似，也用到了分治、递归，甚至连递推公式都是一样的。但思路其实并不相同，快排的主要思想是，我们随便选择一个数组中的元素作为中间点，遍历数组，将小于中间点的元素放在左边，大于中间点的元素放在右边，中间点放在中间。这样继续对前半部分和后半部分分别做一样的操作，直到无法分隔，这时数组就是有序的了。如图所示：一般情况选末尾的元素作为中间点。

快排原理

我们继续深入思考，具体如何实现这个过程呢？不考虑空间消耗，可以每次拆分都创建两个临时数组，遍历将元素挨个放进去，然后再合并回来。

我们可以发现，归并排序并没有办法做到本地排序，那快速排序有没有办法呢？来看下边这张图，用到了和选择排序有点类似的技巧。以末尾的5为区分，遍历数组比较，比它小的插在前边，比它大的插在后边。

但往数组中插入元素需要把很多元素向后移一位，很耗时。同样我们可以用交换代替插入，具体过程如图：选中末尾的5为中间点，用游标i标记小于5的部分，游标k表示当前遍历元素。拿k指向的元素和5去比较，如果小于5，就和i指向的元素交换位置。继续遍历，最后将k指向的5和i指向的元素交换位置，让中间元素位于两个部分的中间。

从这个过程中也可以看出，快排不是一个稳定的排序算法。

代码

    private static void sortArray(int[] arr) {
        sort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    private static void sort(int[] arr, int start, int end) {

        // 递归结束条件
        if (start >= end) {
            return;
        }

        // 分区，返回分区中间点下标
        int p = part(arr, start, end);

        // 继续分别排序中间点前后数组
        sort(arr, start, p - 1);
        sort(arr, p + 1, end);
    }

    private static int part(int[] arr, int start, int end) {

        // 标记小于中间点区间的结尾
        int i = start;
        
        // 选尾部元素为中间点
        int p = arr[end];

        // 遍历，如果比中间点小，就插入小于区间的末尾
        for (int k = start; k < end; k++) {
            if (arr[k] < p) {
                swap(arr, i, k);
                i++;
            }
        }
        // 遍历结束后把中间点放到它应该在的位置
        swap(arr, i, end);
        return i;
    }

    /**
     * 数组元素交换位置
     */
    private static void swap(int[] arr, int i, int k) {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[k];
        arr[k] = temp;
    }

分析

• 稳定性：非稳定排序算法。
• 空间复杂度：利用上文图中的巧妙算法，我们做到了本地排序，空间复杂度O(1)。
• 时间复杂度：基本同归并排序，只有在极端情况下（比如已经是有序数组，我们选择最后一个元素作为中间点）会退化成O(n²)。在大部分情况下，时间复杂度是O(nlogn)

结语

代码一定要自己想着写一遍，会理解、记忆的更清楚。原理看着简单，但转为代码时就会变得一头雾水。另外很多关于边界的判断一不留神就出bug了。