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数论和有限域

b|a: b整除a,b是a的因子。

a|b,b|c,则a|c。

欧几里得算法 Euclid & GCD

两个整数称为互素的，如果它们唯一的正整数公因子为1.

▶️ gcd(a,b):a,b的最大公因子。gcd(0,0)=0.

gcd(a,b)=max[k,其中k|a且k|b]

所求最大公因子为正数，一般来说gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|),同样，因为0可被所有非零整数整除，所以gcd(a,0)=|a|。

如果gcd(a,b)=1,那么a和b互素

▶️ 【基于java】： a mod b（仅正数）和a%b（结果有正有负）相差不多，均表示求余数。 (a,b模c同余)

▶️ 欧几里得算法

d= GCD(a,b) = GCD(b, a mod b) （b ，a和b的余数）

A=a, B=b
while B>0
  R = A mod B
  A = B, B = R
return A （B=0,返回A)
Example GCD(1970,1066)
1970 = 1 x 1066 + 904   gcd(1066, 904)
1066 = 1 x 904 + 162    gcd(904, 162)
904 = 5 x 162 + 94      gcd(162, 94)
162 = 1 x 94 + 68       gcd(94, 68)
94 = 1 x 68 + 26        gcd(68, 26)
68 = 2 x 26 + 16        gcd(26, 16)
26 = 1 x 16 + 10        gcd(16, 10)
16 = 1 x 10 + 6         gcd(10, 6)
10 = 1 x 6 + 4          gcd(6, 4)
6 = 1 x 4 + 2           gcd(4, 2)
4 = 2 x 2 + 0           gcd(2, 0)[一直到余数=0，这里结果为2]

模运算

a模n：a除以n所得的余数。

如果,则n|a。

(a+b) mod n = [a mod n + b mod n] mod n

(a-b) mod n = [a mod n - b mod n] mod n

(a×b) mod n = [a mod n × b mod n] mod n

乘法逆

a的乘法逆元：与a相乘得到单位元的值。

群、环、域

群，二元运算的集合。满足1封闭性，2结合律，3单位元，4逆元。如果群的元素个数有限，则成为有限群。群的阶就等于群中元素的个数。否则，称为该群为无限群。

如果群满足5交换律，称为交换群，即阿贝尔群。

求幂运算为重复运用群中的运算。

环{R,+,×}一个有两个二元运算的集合。a封闭率b结合律c分配率。

乘法交d换律和乘法e单位元。f无零因子：如果R中有元素a、b，且ab=0,则必有a=0或b=0。

域，整环，满足12345+abcdef，

存在乘法逆元，

群环域.png

有限域

有限域的阶（元素的个数）必须是一个素数的幂,n为正整数。阶为的有限域一把记为,n=1,GF(p),与n>1时有着不同的结构。

Galois fields(伽罗瓦域)

• –GF(p) ( for n=1)
• – (for p=2 )

GF(p)是整数集合{0,1, … , p-1} （整数集合) ,运算是模p的算术运算

如果a和b互素，则b有模a的乘法逆元。【注意：互素是前提】

即如果gcd(a,b)=1,那么b有模a的乘法逆元。对于b

(ax+by) mod a = [ax mod a + by moda ] mod a =by mod 1

，因此用扩展欧几里得算法。

扩展的欧几里得算法及求乘法逆元

不仅计算出最大公因子d，还应该计算出另外两个整数x,y,它们满足如下方程：

(其中，x和y具有相反的正负号。)

递推公式：和

余数	公式	x,y	满足

对于求乘法逆的例子，由于要求a,b为素数，最后的结果一般如下：

待处理余数	公式	x	y
d=1			✔️

对于任意的n,如果运用扩展欧几里得算法可以用于求取内的乘法逆元。如果运用扩展欧几里得算法于方程nx+by=d，并且得到d=1,则在内有